Theorem rngdi 13702

Description: Distributive law for the multiplication operation of a non-unital ring (left-distributivity). (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngdi.b	|- B = ( Base ` R )
rngdi.p	|- .+ = ( +g ` R )
rngdi.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
rngdi	|- ( ( R e. Rng /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) )

Proof of Theorem rngdi

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngdi.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
2		eqid 2205	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		rngdi.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` R )
4		rngdi.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isrng 13696	. . 3 |- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ (mulGrp ` R ) e. Smgrp /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .x. ( b .+ c ) ) = ( ( a .x. b ) .+ ( a .x. c ) ) /\ ( ( a .+ b ) .x. c ) = ( ( a .x. c ) .+ ( b .x. c ) ) ) ) )
6		oveq1 5951	. . . . . . . 8 |- ( a = X -> ( a .x. ( b .+ c ) ) = ( X .x. ( b .+ c ) ) )
7		oveq1 5951	. . . . . . . . 9 |- ( a = X -> ( a .x. b ) = ( X .x. b ) )
8		oveq1 5951	. . . . . . . . 9 |- ( a = X -> ( a .x. c ) = ( X .x. c ) )
9	7, 8	oveq12d 5962	. . . . . . . 8 |- ( a = X -> ( ( a .x. b ) .+ ( a .x. c ) ) = ( ( X .x. b ) .+ ( X .x. c ) ) )
10	6, 9	eqeq12d 2220	. . . . . . 7 |- ( a = X -> ( ( a .x. ( b .+ c ) ) = ( ( a .x. b ) .+ ( a .x. c ) ) <-> ( X .x. ( b .+ c ) ) = ( ( X .x. b ) .+ ( X .x. c ) ) ) )
11		oveq1 5951	. . . . . . . . 9 |- ( a = X -> ( a .+ b ) = ( X .+ b ) )
12	11	oveq1d 5959	. . . . . . . 8 |- ( a = X -> ( ( a .+ b ) .x. c ) = ( ( X .+ b ) .x. c ) )
13	8	oveq1d 5959	. . . . . . . 8 |- ( a = X -> ( ( a .x. c ) .+ ( b .x. c ) ) = ( ( X .x. c ) .+ ( b .x. c ) ) )
14	12, 13	eqeq12d 2220	. . . . . . 7 |- ( a = X -> ( ( ( a .+ b ) .x. c ) = ( ( a .x. c ) .+ ( b .x. c ) ) <-> ( ( X .+ b ) .x. c ) = ( ( X .x. c ) .+ ( b .x. c ) ) ) )
15	10, 14	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( a = X -> ( ( ( a .x. ( b .+ c ) ) = ( ( a .x. b ) .+ ( a .x. c ) ) /\ ( ( a .+ b ) .x. c ) = ( ( a .x. c ) .+ ( b .x. c ) ) ) <-> ( ( X .x. ( b .+ c ) ) = ( ( X .x. b ) .+ ( X .x. c ) ) /\ ( ( X .+ b ) .x. c ) = ( ( X .x. c ) .+ ( b .x. c ) ) ) ) )
16		oveq1 5951	. . . . . . . . 9 |- ( b = Y -> ( b .+ c ) = ( Y .+ c ) )
17	16	oveq2d 5960	. . . . . . . 8 |- ( b = Y -> ( X .x. ( b .+ c ) ) = ( X .x. ( Y .+ c ) ) )
18		oveq2 5952	. . . . . . . . 9 |- ( b = Y -> ( X .x. b ) = ( X .x. Y ) )
19	18	oveq1d 5959	. . . . . . . 8 |- ( b = Y -> ( ( X .x. b ) .+ ( X .x. c ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. c ) ) )
20	17, 19	eqeq12d 2220	. . . . . . 7 |- ( b = Y -> ( ( X .x. ( b .+ c ) ) = ( ( X .x. b ) .+ ( X .x. c ) ) <-> ( X .x. ( Y .+ c ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. c ) ) ) )
21		oveq2 5952	. . . . . . . . 9 |- ( b = Y -> ( X .+ b ) = ( X .+ Y ) )
22	21	oveq1d 5959	. . . . . . . 8 |- ( b = Y -> ( ( X .+ b ) .x. c ) = ( ( X .+ Y ) .x. c ) )
23		oveq1 5951	. . . . . . . . 9 |- ( b = Y -> ( b .x. c ) = ( Y .x. c ) )
24	23	oveq2d 5960	. . . . . . . 8 |- ( b = Y -> ( ( X .x. c ) .+ ( b .x. c ) ) = ( ( X .x. c ) .+ ( Y .x. c ) ) )
25	22, 24	eqeq12d 2220	. . . . . . 7 |- ( b = Y -> ( ( ( X .+ b ) .x. c ) = ( ( X .x. c ) .+ ( b .x. c ) ) <-> ( ( X .+ Y ) .x. c ) = ( ( X .x. c ) .+ ( Y .x. c ) ) ) )
26	20, 25	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( b = Y -> ( ( ( X .x. ( b .+ c ) ) = ( ( X .x. b ) .+ ( X .x. c ) ) /\ ( ( X .+ b ) .x. c ) = ( ( X .x. c ) .+ ( b .x. c ) ) ) <-> ( ( X .x. ( Y .+ c ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. c ) ) /\ ( ( X .+ Y ) .x. c ) = ( ( X .x. c ) .+ ( Y .x. c ) ) ) ) )
27		oveq2 5952	. . . . . . . . 9 |- ( c = Z -> ( Y .+ c ) = ( Y .+ Z ) )
28	27	oveq2d 5960	. . . . . . . 8 |- ( c = Z -> ( X .x. ( Y .+ c ) ) = ( X .x. ( Y .+ Z ) ) )
29		oveq2 5952	. . . . . . . . 9 |- ( c = Z -> ( X .x. c ) = ( X .x. Z ) )
30	29	oveq2d 5960	. . . . . . . 8 |- ( c = Z -> ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. c ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) )
31	28, 30	eqeq12d 2220	. . . . . . 7 |- ( c = Z -> ( ( X .x. ( Y .+ c ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. c ) ) <-> ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) ) )
32		oveq2 5952	. . . . . . . 8 |- ( c = Z -> ( ( X .+ Y ) .x. c ) = ( ( X .+ Y ) .x. Z ) )
33		oveq2 5952	. . . . . . . . 9 |- ( c = Z -> ( Y .x. c ) = ( Y .x. Z ) )
34	29, 33	oveq12d 5962	. . . . . . . 8 |- ( c = Z -> ( ( X .x. c ) .+ ( Y .x. c ) ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) )
35	32, 34	eqeq12d 2220	. . . . . . 7 |- ( c = Z -> ( ( ( X .+ Y ) .x. c ) = ( ( X .x. c ) .+ ( Y .x. c ) ) <-> ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) ) )
36	31, 35	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( c = Z -> ( ( ( X .x. ( Y .+ c ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. c ) ) /\ ( ( X .+ Y ) .x. c ) = ( ( X .x. c ) .+ ( Y .x. c ) ) ) <-> ( ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) /\ ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) ) ) )
37	15, 26, 36	rspc3v 2893	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .x. ( b .+ c ) ) = ( ( a .x. b ) .+ ( a .x. c ) ) /\ ( ( a .+ b ) .x. c ) = ( ( a .x. c ) .+ ( b .x. c ) ) ) -> ( ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) /\ ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) ) ) )
38		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) /\ ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) ) -> ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) )
39	37, 38	syl6com 35	. . . 4 |- ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .x. ( b .+ c ) ) = ( ( a .x. b ) .+ ( a .x. c ) ) /\ ( ( a .+ b ) .x. c ) = ( ( a .x. c ) .+ ( b .x. c ) ) ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) ) )
40	39	3ad2ant3 1023	. . 3 |- ( ( R e. Abel /\ (mulGrp ` R ) e. Smgrp /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .x. ( b .+ c ) ) = ( ( a .x. b ) .+ ( a .x. c ) ) /\ ( ( a .+ b ) .x. c ) = ( ( a .x. c ) .+ ( b .x. c ) ) ) ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) ) )
41	5, 40	sylbi 121	. 2 |- ( R e. Rng -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) ) )
42	41	imp 124	1 |- ( ( R e. Rng /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   .rcmulr 12910  Smgrpcsgrp 13233   Abelcabl 13621  mulGrpcmgp 13682  Rngcrng 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5947  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-rng 13695

This theorem is referenced by:  rngrz  13708  rngmneg2  13710  rngsubdi  13713  rngressid  13716  imasrng  13718  opprrng  13839  issubrng2  13972  rnglidlrng  14260