Theorem rngdi 13817

Description: Distributive law for the multiplication operation of a non-unital ring (left-distributivity). (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngdi.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
rngdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rngdi	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngdi

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngdi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		rngdi.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		rngdi.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isrng 13811	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))))
6		oveq1 5974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = (𝑋 · (𝑏 + 𝑐)))
7		oveq1 5974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
8		oveq1 5974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑐))
9	7, 8	oveq12d 5985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)))
10	6, 9	eqeq12d 2222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ↔ (𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐))))
11		oveq1 5974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑋 + 𝑏))
12	11	oveq1d 5982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐))
13	8	oveq1d 5982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))
14	12, 13	eqeq12d 2222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) ↔ ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))))
15	10, 14	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) ↔ ((𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))))
16		oveq1 5974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 + 𝑐) = (𝑌 + 𝑐))
17	16	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = (𝑋 · (𝑌 + 𝑐)))
18		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑌))
19	18	oveq1d 5982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)))
20	17, 19	eqeq12d 2222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) ↔ (𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐))))
21		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 + 𝑏) = (𝑋 + 𝑌))
22	21	oveq1d 5982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐))
23		oveq1 5974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐))
24	23	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)))
25	22, 24	eqeq12d 2222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐))))
26	20, 25	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) ↔ ((𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)))))
27		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 + 𝑐) = (𝑌 + 𝑍))
28	27	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)))
29		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑍))
30	29	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)))
31	28, 30	eqeq12d 2222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) ↔ (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍))))
32		oveq2 5975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍))
33		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑍))
34	29, 33	oveq12d 5985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))
35	32, 34	eqeq12d 2222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
36	31, 35	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐))) ↔ ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))))
37	15, 26, 36	rspc3v 2900	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))))
38		simpl 109	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))) → (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)))
39	37, 38	syl6com 35	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍))))
40	39	3ad2ant3 1023	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍))))
41	5, 40	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍))))
42	41	imp 124	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  Basecbs 12947  +_gcplusg 13024  ._rcmulr 13025  Smgrpcsgrp 13348  Abelcabl 13736  mulGrpcmgp 13797  Rngcrng 13809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-rng 13810

This theorem is referenced by:  rngrz  13823  rngmneg2  13825  rngsubdi  13828  rngressid  13831  imasrng  13833  opprrng  13954  issubrng2  14087  rnglidlrng  14375