Theorem shftcan2 10384

Description: Cancellation law for the shift operation. (Contributed by NM, 4-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftcan2	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( F shift -u A ) shift A ) ` B ) = ( F ` B ) )

Proof of Theorem shftcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negneg 7829	. . . . 5 |- ( A e. CC -> -u -u A = A )
2	1	adantr 271	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u -u A = A )
3	2	oveq2d 5706	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) shift -u -u A ) = ( ( F shift -u A ) shift A ) )
4	3	fveq1d 5342	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( F shift -u A ) shift -u -u A ) ` B ) = ( ( ( F shift -u A ) shift A ) ` B ) )
5		negcl 7779	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
6		shftfval.1	. . . 4 |- F e. _V
7	6	shftcan1 10383	. . 3 |- ( ( -u A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( F shift -u A ) shift -u -u A ) ` B ) = ( F ` B ) )
8	5, 7	sylan 278	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( F shift -u A ) shift -u -u A ) ` B ) = ( F ` B ) )
9	4, 8	eqtr3d 2129	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( F shift -u A ) shift A ) ` B ) = ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1296   e. wcel 1445   _Vcvv 2633   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   CCcc 7445   -ucneg 7751   shift cshi 10363

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-sub 7752  df-neg 7753  df-shft 10364

This theorem is referenced by: (None)