Theorem shftcan2 10861

Description: Cancellation law for the shift operation. (Contributed by NM, 4-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftcan2	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( F shift -u A ) shift A ) ` B ) = ( F ` B ) )

Proof of Theorem shftcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negneg 8224	. . . . 5 |- ( A e. CC -> -u -u A = A )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u -u A = A )
3	2	oveq2d 5906	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) shift -u -u A ) = ( ( F shift -u A ) shift A ) )
4	3	fveq1d 5531	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( F shift -u A ) shift -u -u A ) ` B ) = ( ( ( F shift -u A ) shift A ) ` B ) )
5		negcl 8174	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
6		shftfval.1	. . . 4 |- F e. _V
7	6	shftcan1 10860	. . 3 |- ( ( -u A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( F shift -u A ) shift -u -u A ) ` B ) = ( F ` B ) )
8	5, 7	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( F shift -u A ) shift -u -u A ) ` B ) = ( F ` B ) )
9	4, 8	eqtr3d 2223	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( F shift -u A ) shift A ) ` B ) = ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2159   _Vcvv 2751   ` cfv 5230  (class class class)co 5890   CCcc 7826   -ucneg 8146   shift cshi 10840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-addass 7930  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-cnre 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-sub 8147  df-neg 8148  df-shft 10841

This theorem is referenced by: (None)