Theorem shftvalg 11623

Description: Value of a sequence shifted by A. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
shftvalg	|- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( F ` ( B - A ) ) )

Proof of Theorem shftvalg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6095	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f shift A ) = ( F shift A ) )
2	1	fveq1d 5700	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( f shift A ) ` B ) = ( ( F shift A ) ` B ) )
3		fveq1 5697	. . . . 5 |- ( f = F -> ( f ` ( B - A ) ) = ( F ` ( B - A ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( f = F -> ( ( ( f shift A ) ` B ) = ( f ` ( B - A ) ) <-> ( ( F shift A ) ` B ) = ( F ` ( B - A ) ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( f = F -> ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( f shift A ) ` B ) = ( f ` ( B - A ) ) ) <-> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( F ` ( B - A ) ) ) ) )
6		vex 2824	. . . 4 |- f e. _V
7	6	shftval 11612	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( f shift A ) ` B ) = ( f ` ( B - A ) ) )
8	5, 7	vtoclg 2883	. 2 |- ( F e. V -> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( F ` ( B - A ) ) ) )
9	8	3impib 1232	1 |- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( F ` ( B - A ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8183   - cmin 8504   shift cshi 11601

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-shft 11602

This theorem is used by:  seq3shft  11625  climshftlemg  12093