Theorem shftcan1 10838

Description: Cancellation law for the shift operation. (Contributed by NM, 4-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftcan1	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( F shift A ) shift -u A ) ` B ) = ( F ` B ) )

Proof of Theorem shftcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8155	. . . . 5 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
2		shftfval.1	. . . . . 6 |- F e. _V
3	2	2shfti 10835	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ -u A e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift -u A ) = ( F shift ( A + -u A ) ) )
4	1, 3	mpdan 421	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( F shift A ) shift -u A ) = ( F shift ( A + -u A ) ) )
5		negid 8202	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( A + -u A ) = 0 )
6	5	oveq2d 5890	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( F shift ( A + -u A ) ) = ( F shift 0 ) )
7	4, 6	eqtrd 2210	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( F shift A ) shift -u A ) = ( F shift 0 ) )
8	7	fveq1d 5517	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( F shift A ) shift -u A ) ` B ) = ( ( F shift 0 ) ` B ) )
9	2	shftidt 10837	. 2 |- ( B e. CC -> ( ( F shift 0 ) ` B ) = ( F ` B ) )
10	8, 9	sylan9eq 2230	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( F shift A ) shift -u A ) ` B ) = ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   0cc0 7810   + caddc 7813   -ucneg 8127   shift cshi 10818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sub 8128  df-neg 8129  df-shft 10819

This theorem is referenced by:  shftcan2  10839  climshft  11307