Theorem shftcan1 11260

Description: Cancellation law for the shift operation. (Contributed by NM, 4-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftcan1	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( F shift A ) shift -u A ) ` B ) = ( F ` B ) )

Proof of Theorem shftcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8307	. . . . 5 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
2		shftfval.1	. . . . . 6 |- F e. _V
3	2	2shfti 11257	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ -u A e. CC ) -> ( ( F shift A ) shift -u A ) = ( F shift ( A + -u A ) ) )
4	1, 3	mpdan 421	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( F shift A ) shift -u A ) = ( F shift ( A + -u A ) ) )
5		negid 8354	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( A + -u A ) = 0 )
6	5	oveq2d 5983	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( F shift ( A + -u A ) ) = ( F shift 0 ) )
7	4, 6	eqtrd 2240	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( F shift A ) shift -u A ) = ( F shift 0 ) )
8	7	fveq1d 5601	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( F shift A ) shift -u A ) ` B ) = ( ( F shift 0 ) ` B ) )
9	2	shftidt 11259	. 2 |- ( B e. CC -> ( ( F shift 0 ) ` B ) = ( F ` B ) )
10	8, 9	sylan9eq 2260	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( F shift A ) shift -u A ) ` B ) = ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   0cc0 7960   + caddc 7963   -ucneg 8279   shift cshi 11240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-neg 8281  df-shft 11241

This theorem is referenced by:  shftcan2  11261  climshft  11730