Theorem sspwuni 3997

Description: Subclass relationship for power class and union. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sspwuni	⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem sspwuni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2763	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpw 3607	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)
3	2	ralbii 2500	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝐵)
4		dfss3 3169	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵)
5		unissb 3865	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝐵)
6	3, 4, 5	3bitr4i 212	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   ⊆ wss 3153  𝒫 cpw 3601  ∪ cuni 3835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-v 2762  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-uni 3836

This theorem is referenced by:  pwssb  3998  elpwpw  3999  elpwuni  4002  rintm  4005  dftr4  4132  iotass  5232  tfrlemibfn  6381  tfr1onlembfn  6397  tfrcllembfn  6410  uniixp  6775  fipwssg  7038  unirnioo  10039  restid  12861  lssintclm  13880  topgele  14197  topontopn  14205  unitg  14230  epttop  14258  resttopon  14339  txuni2  14424  txdis  14445  unirnblps  14590  unirnbl  14591