ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unirnioo Unicode version

Theorem unirnioo 9389
Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
unirnioo  |-  RR  =  U. ran  (,)

Proof of Theorem unirnioo
StepHypRef Expression
1 ioomax 9364 . . . 4  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
2 ioof 9387 . . . . . 6  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
3 ffn 5161 . . . . . 6  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
42, 3ax-mp 7 . . . . 5  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
5 mnfxr 7542 . . . . 5  |- -oo  e.  RR*
6 pnfxr 7538 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
7 fnovrn 5792 . . . . 5  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\ -oo  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo (,) +oo )  e.  ran  (,) )
84, 5, 6, 7mp3an 1273 . . . 4  |-  ( -oo (,) +oo )  e.  ran  (,)
91, 8eqeltrri 2161 . . 3  |-  RR  e.  ran  (,)
10 elssuni 3681 . . 3  |-  ( RR  e.  ran  (,)  ->  RR  C_  U. ran  (,) )
119, 10ax-mp 7 . 2  |-  RR  C_  U.
ran  (,)
12 frn 5169 . . . 4  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  ran  (,)  C_  ~P RR )
132, 12ax-mp 7 . . 3  |-  ran  (,)  C_ 
~P RR
14 sspwuni 3813 . . 3  |-  ( ran 
(,)  C_  ~P RR  <->  U. ran  (,)  C_  RR )
1513, 14mpbi 143 . 2  |-  U. ran  (,)  C_  RR
1611, 15eqssi 3041 1  |-  RR  =  U. ran  (,)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1289    e. wcel 1438    C_ wss 2999   ~Pcpw 3429   U.cuni 3653    X. cxp 4436   ran crn 4439    Fn wfn 5010   -->wf 5011  (class class class)co 5652   RRcr 7347   +oocpnf 7517   -oocmnf 7518   RR*cxr 7519   (,)cioo 9304
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-ioo 9308
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator