Theorem unirnioo 10097

Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
unirnioo	|- RR = U. ran (,)

Proof of Theorem unirnioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioomax 10072	. . . 4 |- ( -oo (,) +oo ) = RR
2		ioof 10095	. . . . . 6 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
3		ffn 5427	. . . . . 6 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
5		mnfxr 8131	. . . . 5 |- -oo e. RR*
6		pnfxr 8127	. . . . 5 |- +oo e. RR*
7		fnovrn 6096	. . . . 5 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ -oo e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -oo (,) +oo ) e. ran (,) )
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1350	. . . 4 |- ( -oo (,) +oo ) e. ran (,)
9	1, 8	eqeltrri 2279	. . 3 |- RR e. ran (,)
10		elssuni 3878	. . 3 |- ( RR e. ran (,) -> RR C_ U. ran (,) )
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 |- RR C_ U. ran (,)
12		frn 5436	. . . 4 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> ran (,) C_ ~P RR )
13	2, 12	ax-mp 5	. . 3 |- ran (,) C_ ~P RR
14		sspwuni 4012	. . 3 |- ( ran (,) C_ ~P RR <-> U. ran (,) C_ RR )
15	13, 14	mpbi 145	. 2 |- U. ran (,) C_ RR
16	11, 15	eqssi 3209	1 |- RR = U. ran (,)

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   ~Pcpw 3616   U.cuni 3850   X. cxp 4674   ran crn 4677   Fn wfn 5267   -->wf 5268  (class class class)co 5946   RRcr 7926   +oocpnf 8106   -oocmnf 8107   RR*cxr 8108   (,)cioo 10012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-ioo 10016

This theorem is referenced by:  uniretop  15030  tgioo  15059