Theorem submul2 8279

Description: Convert a subtraction to addition using multiplication by a negative. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
submul2	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A - ( B x. C ) ) = ( A + ( B x. -u C ) ) )

Proof of Theorem submul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulneg2 8276	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B x. -u C ) = -u ( B x. C ) )
2	1	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( B e. CC /\ C e. CC ) ) -> ( B x. -u C ) = -u ( B x. C ) )
3	2	oveq2d 5843	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( B e. CC /\ C e. CC ) ) -> ( A + ( B x. -u C ) ) = ( A + -u ( B x. C ) ) )
4		mulcl 7862	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) e. CC )
5		negsub 8128	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( B x. C ) e. CC ) -> ( A + -u ( B x. C ) ) = ( A - ( B x. C ) ) )
6	4, 5	sylan2 284	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( B e. CC /\ C e. CC ) ) -> ( A + -u ( B x. C ) ) = ( A - ( B x. C ) ) )
7	3, 6	eqtr2d 2191	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( B e. CC /\ C e. CC ) ) -> ( A - ( B x. C ) ) = ( A + ( B x. -u C ) ) )
8	7	3impb 1181	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A - ( B x. C ) ) = ( A + ( B x. -u C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128  (class class class)co 5827   CCcc 7733   + caddc 7738   x. cmul 7740   - cmin 8051   -ucneg 8052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-setind 4499  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-cnre 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4029  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-sub 8053  df-neg 8054

This theorem is referenced by:  cjap  10818