Theorem mulm1 8443

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mulm1	|- ( A e. CC -> ( -u 1 x. A ) = -u A )

Proof of Theorem mulm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7989	. . 3 |- 1 e. CC
2		mulneg1 8438	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u 1 x. A ) = -u ( 1 x. A ) )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. A ) = -u ( 1 x. A ) )
4		mullid 8041	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 1 x. A ) = A )
5	4	negeqd 8238	. 2 |- ( A e. CC -> -u ( 1 x. A ) = -u A )
6	3, 5	eqtrd 2229	1 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. A ) = -u A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   CCcc 7894   1c1 7897   x. cmul 7901   -ucneg 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8216  df-neg 8217

This theorem is referenced by:  mulm1i  8446  mulm1d  8453  div2negap  8779  demoivreALT  11956  sinmpi  15135  cosmpi  15136  sinppi  15137  cosppi  15138  rprelogbdiv  15277  lgsdir2lem4  15356