Theorem mulm1 8454

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mulm1	|- ( A e. CC -> ( -u 1 x. A ) = -u A )

Proof of Theorem mulm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8000	. . 3 |- 1 e. CC
2		mulneg1 8449	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u 1 x. A ) = -u ( 1 x. A ) )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. A ) = -u ( 1 x. A ) )
4		mullid 8052	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 1 x. A ) = A )
5	4	negeqd 8249	. 2 |- ( A e. CC -> -u ( 1 x. A ) = -u A )
6	3, 5	eqtrd 2237	1 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. A ) = -u A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175  (class class class)co 5934   CCcc 7905   1c1 7908   x. cmul 7912   -ucneg 8226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4583  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-sub 8227  df-neg 8228

This theorem is referenced by:  mulm1i  8457  mulm1d  8464  div2negap  8790  demoivreALT  12004  sinmpi  15205  cosmpi  15206  sinppi  15207  cosppi  15208  rprelogbdiv  15347  lgsdir2lem4  15426