Theorem mulneg2 8470

Description: The product with a negative is the negative of the product. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
mulneg2	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. -u B ) = -u ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulneg1 8469	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u B x. A ) = -u ( B x. A ) )
2	1	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u B x. A ) = -u ( B x. A ) )
3		negcl 8274	. . 3 |- ( B e. CC -> -u B e. CC )
4		mulcom 8056	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( A x. -u B ) = ( -u B x. A ) )
5	3, 4	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. -u B ) = ( -u B x. A ) )
6		mulcom 8056	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
7	6	negeqd 8269	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A x. B ) = -u ( B x. A ) )
8	2, 5, 7	3eqtr4d 2248	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. -u B ) = -u ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   CCcc 7925   x. cmul 7932   -ucneg 8246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-sub 8247  df-neg 8248

This theorem is referenced by:  mulneg12  8471  submul2  8473  mulsub  8475  mulneg2i  8479  mulneg2d  8486  zmulcl  9428  binom2sub  10800  cjreb  11210  recj  11211  reneg  11212  imcj  11219  imneg  11220  ipcnval  11230  cjneg  11234  efexp  12026  efmival  12077  sinsub  12084  cossub  12085  odd2np1  12217  sinperlem  15313  efimpi  15324