Theorem mulneg2 8182

Description: The product with a negative is the negative of the product. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
mulneg2	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. -u B ) = -u ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulneg1 8181	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u B x. A ) = -u ( B x. A ) )
2	1	ancoms 266	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u B x. A ) = -u ( B x. A ) )
3		negcl 7986	. . 3 |- ( B e. CC -> -u B e. CC )
4		mulcom 7773	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( A x. -u B ) = ( -u B x. A ) )
5	3, 4	sylan2 284	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. -u B ) = ( -u B x. A ) )
6		mulcom 7773	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
7	6	negeqd 7981	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A x. B ) = -u ( B x. A ) )
8	2, 5, 7	3eqtr4d 2183	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. -u B ) = -u ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481  (class class class)co 5782   CCcc 7642   x. cmul 7649   -ucneg 7958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sub 7959  df-neg 7960

This theorem is referenced by:  mulneg12  8183  submul2  8185  mulsub  8187  mulneg2i  8191  mulneg2d  8198  zmulcl  9131  binom2sub  10436  cjreb  10670  recj  10671  reneg  10672  imcj  10679  imneg  10680  ipcnval  10690  cjneg  10694  efexp  11425  efmival  11476  sinsub  11483  cossub  11484  odd2np1  11606  sinperlem  12937  efimpi  12948