Theorem mulneg2 8353

Description: The product with a negative is the negative of the product. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
mulneg2	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. -u B ) = -u ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulneg1 8352	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u B x. A ) = -u ( B x. A ) )
2	1	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u B x. A ) = -u ( B x. A ) )
3		negcl 8157	. . 3 |- ( B e. CC -> -u B e. CC )
4		mulcom 7940	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( A x. -u B ) = ( -u B x. A ) )
5	3, 4	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. -u B ) = ( -u B x. A ) )
6		mulcom 7940	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
7	6	negeqd 8152	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A x. B ) = -u ( B x. A ) )
8	2, 5, 7	3eqtr4d 2220	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. -u B ) = -u ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5875   CCcc 7809   x. cmul 7816   -ucneg 8129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-sub 8130  df-neg 8131

This theorem is referenced by:  mulneg12  8354  submul2  8356  mulsub  8358  mulneg2i  8362  mulneg2d  8369  zmulcl  9306  binom2sub  10634  cjreb  10875  recj  10876  reneg  10877  imcj  10884  imneg  10885  ipcnval  10895  cjneg  10899  efexp  11690  efmival  11741  sinsub  11748  cossub  11749  odd2np1  11878  sinperlem  14232  efimpi  14243