Theorem suppcofn 6444

Description: The support of the composition of two functions is the inverse image by the inner function of the support of the outer function. (Contributed by AV, 30-May-2019.) (Revised by SN, 15-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
suppcofn	|- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> ( ( F o. G ) supp Z ) = ( `' G " ( F supp Z ) ) )

Proof of Theorem suppcofn

Dummy variables x f i z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-supp 6414	. . . . 5 |- supp = ( f e. _V , z e. _V |-> { i e. dom f | ( f " { i } ) =/= { z } } )
2	1	elmpocl2 6229	. . . 4 |- ( x e. ( ( F o. G ) supp Z ) -> Z e. _V )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> ( x e. ( ( F o. G ) supp Z ) -> Z e. _V ) )
4		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> Fun G )
5	4	funfnd 5364	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> G Fn dom G )
6		elpreima 5775	. . . . . . 7 |- ( G Fn dom G -> ( x e. ( `' G " ( F supp Z ) ) <-> ( x e. dom G /\ ( G ` x ) e. ( F supp Z ) ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> ( x e. ( `' G " ( F supp Z ) ) <-> ( x e. dom G /\ ( G ` x ) e. ( F supp Z ) ) ) )
8	7	simplbda 384	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ x e. ( `' G " ( F supp Z ) ) ) -> ( G ` x ) e. ( F supp Z ) )
9	1	elmpocl2 6229	. . . . 5 |- ( ( G ` x ) e. ( F supp Z ) -> Z e. _V )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ x e. ( `' G " ( F supp Z ) ) ) -> Z e. _V )
11	10	ex 115	. . 3 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> ( x e. ( `' G " ( F supp Z ) ) -> Z e. _V ) )
12		funco 5373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Fun ( F o. G ) )
13	12	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> Fun ( F o. G ) )
14	13	funfnd 5364	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> ( F o. G ) Fn dom ( F o. G ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( F o. G ) Fn dom ( F o. G ) )
16		coexg 5288	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. V /\ G e. W ) -> ( F o. G ) e. _V )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( F o. G ) e. _V )
18		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> Z e. _V )
19		suppimacnvfn 6424	. . . . . . 7 |- ( ( ( F o. G ) Fn dom ( F o. G ) /\ ( F o. G ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( F o. G ) supp Z ) = ( `' ( F o. G ) " ( _V \ { Z } ) ) )
20	15, 17, 18, 19	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( ( F o. G ) supp Z ) = ( `' ( F o. G ) " ( _V \ { Z } ) ) )
21		cnvco 4921	. . . . . . . 8 |- `' ( F o. G ) = ( `' G o. `' F )
22	21	imaeq1i 5079	. . . . . . 7 |- ( `' ( F o. G ) " ( _V \ { Z } ) ) = ( ( `' G o. `' F ) " ( _V \ { Z } ) )
23	22	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( `' ( F o. G ) " ( _V \ { Z } ) ) = ( ( `' G o. `' F ) " ( _V \ { Z } ) ) )
24		imaco 5249	. . . . . . 7 |- ( ( `' G o. `' F ) " ( _V \ { Z } ) ) = ( `' G " ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) )
25		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> Fun F )
26	25	funfnd 5364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> F Fn dom F )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> F Fn dom F )
28		simplll 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> F e. V )
29		suppimacnvfn 6424	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn dom F /\ F e. V /\ Z e. _V ) -> ( F supp Z ) = ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) )
30	27, 28, 18, 29	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( F supp Z ) = ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) )
31	30	imaeq2d 5082	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( `' G " ( F supp Z ) ) = ( `' G " ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) ) )
32	24, 31	eqtr4id 2283	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( ( `' G o. `' F ) " ( _V \ { Z } ) ) = ( `' G " ( F supp Z ) ) )
33	20, 23, 32	3eqtrd 2268	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( ( F o. G ) supp Z ) = ( `' G " ( F supp Z ) ) )
34	33	eleq2d 2301	. . . 4 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( x e. ( ( F o. G ) supp Z ) <-> x e. ( `' G " ( F supp Z ) ) ) )
35	34	ex 115	. . 3 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> ( Z e. _V -> ( x e. ( ( F o. G ) supp Z ) <-> x e. ( `' G " ( F supp Z ) ) ) ) )
36	3, 11, 35	pm5.21ndd 713	. 2 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> ( x e. ( ( F o. G ) supp Z ) <-> x e. ( `' G " ( F supp Z ) ) ) )
37	36	eqrdv 2229	1 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> ( ( F o. G ) supp Z ) = ( `' G " ( F supp Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   {crab 2515   _Vcvv 2803   \ cdif 3198   {csn 3673   `'ccnv 4730   dom cdm 4731   "cima 4734   o. ccom 4735   Fun wfun 5327   Fn wfn 5328   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   supp csupp 6413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-supp 6414

This theorem is referenced by:  supp0cosupp0fn  6445  imacosuppfn  6446