Theorem suppcofn 6465

Description: The support of the composition of two functions is the inverse image by the inner function of the support of the outer function. (Contributed by AV, 30-May-2019.) (Revised by SN, 15-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
suppcofn	|- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> ( ( F o. G ) supp Z ) = ( `' G " ( F supp Z ) ) )

Proof of Theorem suppcofn

Dummy variables x f i z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-supp 6435	. . . . 5 |- supp = ( f e. _V , z e. _V |-> { i e. dom f | ( f " { i } ) =/= { z } } )
2	1	elmpocl2 6250	. . . 4 |- ( x e. ( ( F o. G ) supp Z ) -> Z e. _V )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> ( x e. ( ( F o. G ) supp Z ) -> Z e. _V ) )
4		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> Fun G )
5	4	funfnd 5382	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> G Fn dom G )
6		elpreima 5796	. . . . . . 7 |- ( G Fn dom G -> ( x e. ( `' G " ( F supp Z ) ) <-> ( x e. dom G /\ ( G ` x ) e. ( F supp Z ) ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> ( x e. ( `' G " ( F supp Z ) ) <-> ( x e. dom G /\ ( G ` x ) e. ( F supp Z ) ) ) )
8	7	simplbda 384	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ x e. ( `' G " ( F supp Z ) ) ) -> ( G ` x ) e. ( F supp Z ) )
9	1	elmpocl2 6250	. . . . 5 |- ( ( G ` x ) e. ( F supp Z ) -> Z e. _V )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ x e. ( `' G " ( F supp Z ) ) ) -> Z e. _V )
11	10	ex 115	. . 3 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> ( x e. ( `' G " ( F supp Z ) ) -> Z e. _V ) )
12		funco 5391	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Fun ( F o. G ) )
13	12	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> Fun ( F o. G ) )
14	13	funfnd 5382	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> ( F o. G ) Fn dom ( F o. G ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( F o. G ) Fn dom ( F o. G ) )
16		coexg 5306	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. V /\ G e. W ) -> ( F o. G ) e. _V )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( F o. G ) e. _V )
18		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> Z e. _V )
19		suppimacnvfn 6445	. . . . . . 7 |- ( ( ( F o. G ) Fn dom ( F o. G ) /\ ( F o. G ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( F o. G ) supp Z ) = ( `' ( F o. G ) " ( _V \ { Z } ) ) )
20	15, 17, 18, 19	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( ( F o. G ) supp Z ) = ( `' ( F o. G ) " ( _V \ { Z } ) ) )
21		cnvco 4939	. . . . . . . 8 |- `' ( F o. G ) = ( `' G o. `' F )
22	21	imaeq1i 5097	. . . . . . 7 |- ( `' ( F o. G ) " ( _V \ { Z } ) ) = ( ( `' G o. `' F ) " ( _V \ { Z } ) )
23	22	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( `' ( F o. G ) " ( _V \ { Z } ) ) = ( ( `' G o. `' F ) " ( _V \ { Z } ) ) )
24		imaco 5267	. . . . . . 7 |- ( ( `' G o. `' F ) " ( _V \ { Z } ) ) = ( `' G " ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) )
25		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> Fun F )
26	25	funfnd 5382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> F Fn dom F )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> F Fn dom F )
28		simplll 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> F e. V )
29		suppimacnvfn 6445	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn dom F /\ F e. V /\ Z e. _V ) -> ( F supp Z ) = ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) )
30	27, 28, 18, 29	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( F supp Z ) = ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) )
31	30	imaeq2d 5100	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( `' G " ( F supp Z ) ) = ( `' G " ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) ) )
32	24, 31	eqtr4id 2284	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( ( `' G o. `' F ) " ( _V \ { Z } ) ) = ( `' G " ( F supp Z ) ) )
33	20, 23, 32	3eqtrd 2269	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( ( F o. G ) supp Z ) = ( `' G " ( F supp Z ) ) )
34	33	eleq2d 2302	. . . 4 |- ( ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) /\ Z e. _V ) -> ( x e. ( ( F o. G ) supp Z ) <-> x e. ( `' G " ( F supp Z ) ) ) )
35	34	ex 115	. . 3 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> ( Z e. _V -> ( x e. ( ( F o. G ) supp Z ) <-> x e. ( `' G " ( F supp Z ) ) ) ) )
36	3, 11, 35	pm5.21ndd 713	. 2 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> ( x e. ( ( F o. G ) supp Z ) <-> x e. ( `' G " ( F supp Z ) ) ) )
37	36	eqrdv 2230	1 |- ( ( ( F e. V /\ G e. W ) /\ ( Fun F /\ Fun G ) ) -> ( ( F o. G ) supp Z ) = ( `' G " ( F supp Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   {crab 2524   _Vcvv 2812   \ cdif 3207   {csn 3688   `'ccnv 4747   dom cdm 4748   "cima 4751   o. ccom 4752   Fun wfun 5345   Fn wfn 5346   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   supp csupp 6434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-supp 6435

This theorem is referenced by:  supp0cosupp0fn  6466  imacosuppfn  6467  fsuppcorn  7253