Theorem tfrcllembacc 6350

Description: Lemma for tfrcl 6359. Each element of B is an acceptable function. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcllemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllembacc.3	|- B = { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
tfrcllembacc.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcllembacc.4	|- ( ph -> D e. X )
tfrcllembacc.5	|- ( ph -> A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllembacc	|- ( ph -> B C_ A )

Distinct variable groups:   A, f, g, h, x, y, z   D, f, g, x, y   f, G, x, y   S, f, x, y   f, X, x   ph, f, g, h, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( w)   A( w)   B( x, y, z, w, f, g, h)   D( z, w, h)   S( z, w, g, h)   F( x, y, z, w, f, g, h)   G( z, w, g, h)   X( y, z, w, g, h)

Proof of Theorem tfrcllembacc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcllembacc.3	. 2 |- B = { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
2		simpr3 1005	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
3		tfrcl.f	. . . . . . . 8 |- F = recs ( G )
4		tfrcl.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Fun G )
5	4	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Fun G )
6		tfrcl.x	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Ord X )
7	6	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Ord X )
8		simp1ll 1060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ph )
9		tfrcl.ex	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
10	8, 9	syld3an1 1284	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
11		tfrcllemsucfn.1	. . . . . . . 8 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
12		tfrcllembacc.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. X )
13	12	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> D e. X )
14		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> z e. D )
15		tfrcllembacc.u	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
16	15	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
17	16	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
18		simpr1 1003	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g : z --> S )
19		simpr2 1004	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g e. A )
20	3, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19	tfrcllemsucaccv 6349	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A )
21	2, 20	eqeltrd 2254	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h e. A )
22	21	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. A ) )
23	22	exlimdv 1819	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. A ) )
24	23	rexlimdva 2594	. . 3 |- ( ph -> ( E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. A ) )
25	24	abssdv 3229	. 2 |- ( ph -> { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) } C_ A )
26	1, 25	eqsstrid 3201	1 |- ( ph -> B C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   u. cun 3127   C_ wss 3129   {csn 3591   <.cop 3594   U.cuni 3807   Ord word 4359   suc csuc 4362   |` cres 4625   Fun wfun 5206   -->wf 5208   ` cfv 5212  recscrecs 6299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220

This theorem is referenced by:  tfrcllembfn  6352  tfrcllemubacc  6354