Theorem txbasex 12465

Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
txval.1	⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
txbasex	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem txbasex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txval.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))
2		eqid 2140	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑅 = ∪ 𝑅
3		eqid 2140	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ 𝑆
4	1, 2, 3	txuni2 12464	. . 3 ⊢ (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) = ∪ 𝐵
5		uniexg 4369	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑅 ∈ V)
6		uniexg 4369	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → ∪ 𝑆 ∈ V)
7		xpexg 4661	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑅 ∈ V ∧ ∪ 𝑆 ∈ V) → (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) ∈ V)
8	5, 6, 7	syl2an 287	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) ∈ V)
9	4, 8	eqeltrrid 2228	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ∪ 𝐵 ∈ V)
10		uniexb 4402	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∪ 𝐵 ∈ V)
11	9, 10	sylibr 133	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689  ∪ cuni 3744   × cxp 4545  ran crn 4548   ∈ cmpo 5784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047

This theorem is referenced by:  txbas  12466  eltx  12467  txtopon  12470  txopn  12473  txss12  12474  txbasval  12475  txrest  12484