Theorem txbasex 15171

Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
txval.1	⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
txbasex	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem txbasex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txval.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))
2		eqid 2234	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑅 = ∪ 𝑅
3		eqid 2234	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ 𝑆
4	1, 2, 3	txuni2 15170	. . 3 ⊢ (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) = ∪ 𝐵
5		uniexg 4562	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑅 ∈ V)
6		uniexg 4562	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → ∪ 𝑆 ∈ V)
7		xpexg 4866	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑅 ∈ V ∧ ∪ 𝑆 ∈ V) → (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) ∈ V)
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) ∈ V)
9	4, 8	eqeltrrid 2322	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ∪ 𝐵 ∈ V)
10		uniexb 4596	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∪ 𝐵 ∈ V)
11	9, 10	sylibr 134	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  ∪ cuni 3916   × cxp 4749  ran crn 4752   ∈ cmpo 6054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337

This theorem is referenced by:  txbas  15172  eltx  15173  txtopon  15176  txopn  15179  txss12  15180  txbasval  15181  txrest  15190