ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txvalex Unicode version

Theorem txvalex 13685
Description: Existence of the binary topological product. If  R and  S are known to be topologies, see txtop 13691. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
txvalex  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( R  tX  S
)  e.  _V )

Proof of Theorem txvalex
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2748 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  R  e.  _V )
21adantr 276 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  R  e.  _V )
3 elex 2748 . . . 4  |-  ( S  e.  W  ->  S  e.  _V )
43adantl 277 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  S  e.  _V )
5 mpoexga 6212 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y
) )  e.  _V )
6 rnexg 4892 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y
) )  e.  _V )
7 tgvalex 12706 . . . 4  |-  ( ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y
) )  e.  _V  ->  ( topGen `  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) )  e.  _V )
85, 6, 73syl 17 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( topGen `  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) )  e.  _V )
9 mpoeq12 5934 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  R  /\  z  =  S )  ->  ( x  e.  w ,  y  e.  z  |->  ( x  X.  y
) )  =  ( x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) )
109rneqd 4856 . . . . 5  |-  ( ( w  =  R  /\  z  =  S )  ->  ran  ( x  e.  w ,  y  e.  z  |->  ( x  X.  y ) )  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) )
1110fveq2d 5519 . . . 4  |-  ( ( w  =  R  /\  z  =  S )  ->  ( topGen `  ran  ( x  e.  w ,  y  e.  z  |->  ( x  X.  y ) ) )  =  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
12 df-tx 13684 . . . 4  |-  tX  =  ( w  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( topGen `  ran  ( x  e.  w ,  y  e.  z  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
1311, 12ovmpoga 6003 . . 3  |-  ( ( R  e.  _V  /\  S  e.  _V  /\  ( topGen `
 ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) )  e.  _V )  -> 
( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
142, 4, 8, 13syl3anc 1238 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
1514, 8eqeltrd 2254 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( R  tX  S
)  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    X. cxp 4624   ran crn 4627   ` cfv 5216  (class class class)co 5874    e. cmpo 5876   topGenctg 12697    tX ctx 13683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-topgen 12703  df-tx 13684
This theorem is referenced by:  txbasval  13698
  Copyright terms: Public domain W3C validator