Theorem txvalex 14422

Description: Existence of the binary topological product. If R and S are known to be topologies, see txtop 14428. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
txvalex	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) e. _V )

Proof of Theorem txvalex

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2771	. . . 4 |- ( R e. V -> R e. _V )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> R e. _V )
3		elex 2771	. . . 4 |- ( S e. W -> S e. _V )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> S e. _V )
5		mpoexga 6265	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V )
6		rnexg 4927	. . . 4 |- ( ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V )
7		tgvalex 12874	. . . 4 |- ( ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V )
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V )
9		mpoeq12 5978	. . . . . 6 |- ( ( w = R /\ z = S ) -> ( x e. w , y e. z |-> ( x X. y ) ) = ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
10	9	rneqd 4891	. . . . 5 |- ( ( w = R /\ z = S ) -> ran ( x e. w , y e. z |-> ( x X. y ) ) = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
11	10	fveq2d 5558	. . . 4 |- ( ( w = R /\ z = S ) -> ( topGen ` ran ( x e. w , y e. z |-> ( x X. y ) ) ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
12		df-tx 14421	. . . 4 |- tX = ( w e. _V , z e. _V |-> ( topGen ` ran ( x e. w , y e. z |-> ( x X. y ) ) ) )
13	11, 12	ovmpoga 6048	. . 3 |- ( ( R e. _V /\ S e. _V /\ ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
14	2, 4, 8, 13	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
15	14, 8	eqeltrd 2270	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   X. cxp 4657   ran crn 4660   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920   topGenctg 12865   tX ctx 14420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-topgen 12871  df-tx 14421

This theorem is referenced by:  txbasval  14435