Theorem txvalex 13048

Description: Existence of the binary topological product. If R and S are known to be topologies, see txtop 13054. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
txvalex	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) e. _V )

Proof of Theorem txvalex

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2741	. . . 4 |- ( R e. V -> R e. _V )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> R e. _V )
3		elex 2741	. . . 4 |- ( S e. W -> S e. _V )
4	3	adantl 275	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> S e. _V )
5		mpoexga 6191	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V )
6		rnexg 4876	. . . 4 |- ( ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V )
7		tgvalex 12844	. . . 4 |- ( ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V )
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V )
9		mpoeq12 5913	. . . . . 6 |- ( ( w = R /\ z = S ) -> ( x e. w , y e. z |-> ( x X. y ) ) = ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
10	9	rneqd 4840	. . . . 5 |- ( ( w = R /\ z = S ) -> ran ( x e. w , y e. z |-> ( x X. y ) ) = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
11	10	fveq2d 5500	. . . 4 |- ( ( w = R /\ z = S ) -> ( topGen ` ran ( x e. w , y e. z |-> ( x X. y ) ) ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
12		df-tx 13047	. . . 4 |- tX = ( w e. _V , z e. _V |-> ( topGen ` ran ( x e. w , y e. z |-> ( x X. y ) ) ) )
13	11, 12	ovmpoga 5982	. . 3 |- ( ( R e. _V /\ S e. _V /\ ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
14	2, 4, 8, 13	syl3anc 1233	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
15	14, 8	eqeltrd 2247	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   X. cxp 4609   ran crn 4612   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855   topGenctg 12594   tX ctx 13046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-topgen 12600  df-tx 13047

This theorem is referenced by:  txbasval  13061