Theorem txvalex 15119

Description: Existence of the binary topological product. If R and S are known to be topologies, see txtop 15125. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
txvalex	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) e. _V )

Proof of Theorem txvalex

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2825	. . . 4 |- ( R e. V -> R e. _V )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> R e. _V )
3		elex 2825	. . . 4 |- ( S e. W -> S e. _V )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> S e. _V )
5		mpoexga 6408	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V )
6		rnexg 5022	. . . 4 |- ( ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V )
7		tgvalex 13476	. . . 4 |- ( ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V )
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V )
9		mpoeq12 6113	. . . . . 6 |- ( ( w = R /\ z = S ) -> ( x e. w , y e. z |-> ( x X. y ) ) = ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
10	9	rneqd 4986	. . . . 5 |- ( ( w = R /\ z = S ) -> ran ( x e. w , y e. z |-> ( x X. y ) ) = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
11	10	fveq2d 5674	. . . 4 |- ( ( w = R /\ z = S ) -> ( topGen ` ran ( x e. w , y e. z |-> ( x X. y ) ) ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
12		df-tx 15118	. . . 4 |- tX = ( w e. _V , z e. _V |-> ( topGen ` ran ( x e. w , y e. z |-> ( x X. y ) ) ) )
13	11, 12	ovmpoga 6183	. . 3 |- ( ( R e. _V /\ S e. _V /\ ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
14	2, 4, 8, 13	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
15	14, 8	eqeltrd 2309	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   X. cxp 4747   ran crn 4750   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   e. cmpo 6052   topGenctg 13467   tX ctx 15117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-topgen 13473  df-tx 15118

This theorem is referenced by:  txbasval  15132