Theorem txvalex 13685

Description: Existence of the binary topological product. If R and S are known to be topologies, see txtop 13691. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
txvalex	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) e. _V )

Proof of Theorem txvalex

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2748	. . . 4 |- ( R e. V -> R e. _V )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> R e. _V )
3		elex 2748	. . . 4 |- ( S e. W -> S e. _V )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> S e. _V )
5		mpoexga 6212	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V )
6		rnexg 4892	. . . 4 |- ( ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V )
7		tgvalex 12706	. . . 4 |- ( ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V )
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V )
9		mpoeq12 5934	. . . . . 6 |- ( ( w = R /\ z = S ) -> ( x e. w , y e. z |-> ( x X. y ) ) = ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
10	9	rneqd 4856	. . . . 5 |- ( ( w = R /\ z = S ) -> ran ( x e. w , y e. z |-> ( x X. y ) ) = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
11	10	fveq2d 5519	. . . 4 |- ( ( w = R /\ z = S ) -> ( topGen ` ran ( x e. w , y e. z |-> ( x X. y ) ) ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
12		df-tx 13684	. . . 4 |- tX = ( w e. _V , z e. _V |-> ( topGen ` ran ( x e. w , y e. z |-> ( x X. y ) ) ) )
13	11, 12	ovmpoga 6003	. . 3 |- ( ( R e. _V /\ S e. _V /\ ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
14	2, 4, 8, 13	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
15	14, 8	eqeltrd 2254	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   X. cxp 4624   ran crn 4627   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   e. cmpo 5876   topGenctg 12697   tX ctx 13683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-topgen 12703  df-tx 13684

This theorem is referenced by:  txbasval  13698