Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txvalex GIF version

Theorem txvalex 12614
 Description: Existence of the binary topological product. If 𝑅 and 𝑆 are known to be topologies, see txtop 12620. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
txvalex ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ V)

Proof of Theorem txvalex
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2723 . . . 4 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
21adantr 274 . . 3 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → 𝑅 ∈ V)
3 elex 2723 . . . 4 (𝑆𝑊𝑆 ∈ V)
43adantl 275 . . 3 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → 𝑆 ∈ V)
5 mpoexga 6154 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑥𝑅, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ∈ V)
6 rnexg 4848 . . . 4 ((𝑥𝑅, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ∈ V → ran (𝑥𝑅, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ∈ V)
7 tgvalex 12410 . . . 4 (ran (𝑥𝑅, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ∈ V → (topGen‘ran (𝑥𝑅, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))) ∈ V)
85, 6, 73syl 17 . . 3 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘ran (𝑥𝑅, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))) ∈ V)
9 mpoeq12 5875 . . . . . 6 ((𝑤 = 𝑅𝑧 = 𝑆) → (𝑥𝑤, 𝑦𝑧 ↦ (𝑥 × 𝑦)) = (𝑥𝑅, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦)))
109rneqd 4812 . . . . 5 ((𝑤 = 𝑅𝑧 = 𝑆) → ran (𝑥𝑤, 𝑦𝑧 ↦ (𝑥 × 𝑦)) = ran (𝑥𝑅, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦)))
1110fveq2d 5469 . . . 4 ((𝑤 = 𝑅𝑧 = 𝑆) → (topGen‘ran (𝑥𝑤, 𝑦𝑧 ↦ (𝑥 × 𝑦))) = (topGen‘ran (𝑥𝑅, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))))
12 df-tx 12613 . . . 4 ×t = (𝑤 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (topGen‘ran (𝑥𝑤, 𝑦𝑧 ↦ (𝑥 × 𝑦))))
1311, 12ovmpoga 5944 . . 3 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ∧ (topGen‘ran (𝑥𝑅, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))) ∈ V) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑥𝑅, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))))
142, 4, 8, 13syl3anc 1220 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑥𝑅, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))))
1514, 8eqeltrd 2234 1 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ V)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712   × cxp 4581  ran crn 4584  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818   ∈ cmpo 5820  topGenctg 12326   ×t ctx 12612 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-topgen 12332  df-tx 12613 This theorem is referenced by:  txbasval  12627
 Copyright terms: Public domain W3C validator