Theorem txvalex 12258

Description: Existence of the binary topological product. If 𝑅 and 𝑆 are known to be topologies, see txtop 12264. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
txvalex	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ V)

Proof of Theorem txvalex

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2666	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2	1	adantr 272	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
3		elex 2666	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → 𝑆 ∈ V)
4	3	adantl 273	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
5		mpoexga 6061	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ∈ V)
6		rnexg 4760	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ∈ V → ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ∈ V)
7		tgvalex 12055	. . . 4 ⊢ (ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ∈ V → (topGen‘ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))) ∈ V)
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (topGen‘ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))) ∈ V)
9		mpoeq12 5783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = 𝑅 ∧ 𝑧 = 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑤, 𝑦 ∈ 𝑧 ↦ (𝑥 × 𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦)))
10	9	rneqd 4726	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = 𝑅 ∧ 𝑧 = 𝑆) → ran (𝑥 ∈ 𝑤, 𝑦 ∈ 𝑧 ↦ (𝑥 × 𝑦)) = ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦)))
11	10	fveq2d 5377	. . . 4 ⊢ ((𝑤 = 𝑅 ∧ 𝑧 = 𝑆) → (topGen‘ran (𝑥 ∈ 𝑤, 𝑦 ∈ 𝑧 ↦ (𝑥 × 𝑦))) = (topGen‘ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))))
12		df-tx 12257	. . . 4 ⊢ ×t = (𝑤 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (topGen‘ran (𝑥 ∈ 𝑤, 𝑦 ∈ 𝑧 ↦ (𝑥 × 𝑦))))
13	11, 12	ovmpoga 5852	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ∧ (topGen‘ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))) ∈ V) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))))
14	2, 4, 8, 13	syl3anc 1197	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))))
15	14, 8	eqeltrd 2189	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  Vcvv 2655   × cxp 4495  ran crn 4498  ‘cfv 5079  (class class class)co 5726   ∈ cmpo 5728  topGenctg 11971   ×_t ctx 12256

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5989  df-2nd 5990  df-topgen 11977  df-tx 12257

This theorem is referenced by:  txbasval  12271