Theorem txval 14491

Description: Value of the binary topological product operation. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
txval.1	|- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )

Assertion

Ref	Expression
txval	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` B ) )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem txval

Dummy variables r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2774	. . . 4 |- ( R e. V -> R e. _V )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> R e. _V )
3		elex 2774	. . . 4 |- ( S e. W -> S e. _V )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> S e. _V )
5		mpoexga 6270	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V )
6		rnexg 4931	. . . 4 |- ( ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V )
7		tgvalex 12934	. . . 4 |- ( ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V )
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V )
9		mpoeq12 5982	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( x e. r , y e. s |-> ( x X. y ) ) = ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
10	9	rneqd 4895	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ran ( x e. r , y e. s |-> ( x X. y ) ) = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
11	10	fveq2d 5562	. . . 4 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( topGen ` ran ( x e. r , y e. s |-> ( x X. y ) ) ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
12		df-tx 14489	. . . 4 |- tX = ( r e. _V , s e. _V |-> ( topGen ` ran ( x e. r , y e. s |-> ( x X. y ) ) ) )
13	11, 12	ovmpoga 6052	. . 3 |- ( ( R e. _V /\ S e. _V /\ ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
14	2, 4, 8, 13	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
15		txval.1	. . 3 |- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
16	15	fveq2i 5561	. 2 |- ( topGen ` B ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
17	14, 16	eqtr4di 2247	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   X. cxp 4661   ran crn 4664   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   topGenctg 12925   tX ctx 14488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-topgen 12931  df-tx 14489

This theorem is referenced by:  eltx  14495  txtop  14496  txtopon  14498  txopn  14501  txss12  14502  txbasval  14503  txcnp  14507  txcnmpt  14509  txrest  14512  txlm  14515  xmettxlem  14745  xmettx  14746