Theorem txval 12895

Description: Value of the binary topological product operation. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
txval.1	|- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )

Assertion

Ref	Expression
txval	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` B ) )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem txval

Dummy variables r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2737	. . . 4 |- ( R e. V -> R e. _V )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> R e. _V )
3		elex 2737	. . . 4 |- ( S e. W -> S e. _V )
4	3	adantl 275	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> S e. _V )
5		mpoexga 6180	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V )
6		rnexg 4869	. . . 4 |- ( ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V )
7		tgvalex 12690	. . . 4 |- ( ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V )
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V )
9		mpoeq12 5902	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( x e. r , y e. s |-> ( x X. y ) ) = ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
10	9	rneqd 4833	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ran ( x e. r , y e. s |-> ( x X. y ) ) = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
11	10	fveq2d 5490	. . . 4 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( topGen ` ran ( x e. r , y e. s |-> ( x X. y ) ) ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
12		df-tx 12893	. . . 4 |- tX = ( r e. _V , s e. _V |-> ( topGen ` ran ( x e. r , y e. s |-> ( x X. y ) ) ) )
13	11, 12	ovmpoga 5971	. . 3 |- ( ( R e. _V /\ S e. _V /\ ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
14	2, 4, 8, 13	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
15		txval.1	. . 3 |- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
16	15	fveq2i 5489	. 2 |- ( topGen ` B ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
17	14, 16	eqtr4di 2217	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   X. cxp 4602   ran crn 4605   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844   topGenctg 12571   tX ctx 12892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-topgen 12577  df-tx 12893

This theorem is referenced by:  eltx  12899  txtop  12900  txtopon  12902  txopn  12905  txss12  12906  txbasval  12907  txcnp  12911  txcnmpt  12913  txrest  12916  txlm  12919  xmettxlem  13149  xmettx  13150