ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txval Unicode version

Theorem txval 13388
Description: Value of the binary topological product operation. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txval.1  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
Assertion
Ref Expression
txval  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen `  B ) )
Distinct variable groups:    x, y, R   
x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem txval
Dummy variables  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2748 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  R  e.  _V )
21adantr 276 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  R  e.  _V )
3 elex 2748 . . . 4  |-  ( S  e.  W  ->  S  e.  _V )
43adantl 277 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  S  e.  _V )
5 mpoexga 6206 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y
) )  e.  _V )
6 rnexg 4887 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y
) )  e.  _V )
7 tgvalex 13183 . . . 4  |-  ( ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y
) )  e.  _V  ->  ( topGen `  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) )  e.  _V )
85, 6, 73syl 17 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( topGen `  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) )  e.  _V )
9 mpoeq12 5928 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  s  =  S )  ->  ( x  e.  r ,  y  e.  s 
|->  ( x  X.  y
) )  =  ( x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) )
109rneqd 4851 . . . . 5  |-  ( ( r  =  R  /\  s  =  S )  ->  ran  ( x  e.  r ,  y  e.  s  |->  ( x  X.  y ) )  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) )
1110fveq2d 5514 . . . 4  |-  ( ( r  =  R  /\  s  =  S )  ->  ( topGen `  ran  ( x  e.  r ,  y  e.  s  |->  ( x  X.  y ) ) )  =  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
12 df-tx 13386 . . . 4  |-  tX  =  ( r  e.  _V ,  s  e.  _V  |->  ( topGen `  ran  ( x  e.  r ,  y  e.  s  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
1311, 12ovmpoga 5997 . . 3  |-  ( ( R  e.  _V  /\  S  e.  _V  /\  ( topGen `
 ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) )  e.  _V )  -> 
( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
142, 4, 8, 13syl3anc 1238 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
15 txval.1 . . 3  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
1615fveq2i 5513 . 2  |-  ( topGen `  B )  =  (
topGen `  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) )
1714, 16eqtr4di 2228 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    X. cxp 4620   ran crn 4623   ` cfv 5211  (class class class)co 5868    e. cmpo 5870   topGenctg 12638    tX ctx 13385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-topgen 12644  df-tx 13386
This theorem is referenced by:  eltx  13392  txtop  13393  txtopon  13395  txopn  13398  txss12  13399  txbasval  13400  txcnp  13404  txcnmpt  13406  txrest  13409  txlm  13412  xmettxlem  13642  xmettx  13643
  Copyright terms: Public domain W3C validator