Theorem txval 14232

Description: Value of the binary topological product operation. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
txval.1	|- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )

Assertion

Ref	Expression
txval	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` B ) )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem txval

Dummy variables r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2763	. . . 4 |- ( R e. V -> R e. _V )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> R e. _V )
3		elex 2763	. . . 4 |- ( S e. W -> S e. _V )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> S e. _V )
5		mpoexga 6238	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V )
6		rnexg 4910	. . . 4 |- ( ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V )
7		tgvalex 12771	. . . 4 |- ( ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V )
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V )
9		mpoeq12 5957	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( x e. r , y e. s |-> ( x X. y ) ) = ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
10	9	rneqd 4874	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ran ( x e. r , y e. s |-> ( x X. y ) ) = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
11	10	fveq2d 5538	. . . 4 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( topGen ` ran ( x e. r , y e. s |-> ( x X. y ) ) ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
12		df-tx 14230	. . . 4 |- tX = ( r e. _V , s e. _V |-> ( topGen ` ran ( x e. r , y e. s |-> ( x X. y ) ) ) )
13	11, 12	ovmpoga 6027	. . 3 |- ( ( R e. _V /\ S e. _V /\ ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
14	2, 4, 8, 13	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
15		txval.1	. . 3 |- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
16	15	fveq2i 5537	. 2 |- ( topGen ` B ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
17	14, 16	eqtr4di 2240	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   X. cxp 4642   ran crn 4645   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   e. cmpo 5899   topGenctg 12762   tX ctx 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-topgen 12768  df-tx 14230

This theorem is referenced by:  eltx  14236  txtop  14237  txtopon  14239  txopn  14242  txss12  14243  txbasval  14244  txcnp  14248  txcnmpt  14250  txrest  14253  txlm  14256  xmettxlem  14486  xmettx  14487