Theorem xmetres 14279

Description: A restriction of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetres	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` ( X i^i R ) ) )

Proof of Theorem xmetres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 14247	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		fdm 5386	. . 3 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> dom D = ( X X. X ) )
3		metreslem 14277	. . 3 |- ( dom D = ( X X. X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) = ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) = ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) )
5		inss1 3370	. . 3 |- ( X i^i R ) C_ X
6		xmetres2 14276	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( X i^i R ) C_ X ) -> ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) e. ( *Met ` ( X i^i R ) ) )
7	5, 6	mpan2 425	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) e. ( *Met ` ( X i^i R ) ) )
8	4, 7	eqeltrd 2266	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` ( X i^i R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   i^i cin 3143   C_ wss 3144   X. cxp 4639   dom cdm 4641   |` cres 4643   -->wf 5227   ` cfv 5231   RR*cxr 8009   *Metcxmet 13810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-map 6668  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-xmet 13818

This theorem is referenced by:  blres  14331