Theorem xmetres 12742

Description: A restriction of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetres	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` ( X i^i R ) ) )

Proof of Theorem xmetres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 12710	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		fdm 5322	. . 3 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> dom D = ( X X. X ) )
3		metreslem 12740	. . 3 |- ( dom D = ( X X. X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) = ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) = ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) )
5		inss1 3327	. . 3 |- ( X i^i R ) C_ X
6		xmetres2 12739	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( X i^i R ) C_ X ) -> ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) e. ( *Met ` ( X i^i R ) ) )
7	5, 6	mpan2 422	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) e. ( *Met ` ( X i^i R ) ) )
8	4, 7	eqeltrd 2234	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` ( X i^i R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   i^i cin 3101   C_ wss 3102   X. cxp 4581   dom cdm 4583   |` cres 4585   -->wf 5163   ` cfv 5167   RR*cxr 7894   *Metcxmet 12340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-map 6588  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-xmet 12348

This theorem is referenced by:  blres  12794