Theorem xmetres 15373

Description: A restriction of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetres	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` ( X i^i R ) ) )

Proof of Theorem xmetres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 15341	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		fdm 5519	. . 3 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> dom D = ( X X. X ) )
3		metreslem 15371	. . 3 |- ( dom D = ( X X. X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) = ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) = ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) )
5		inss1 3445	. . 3 |- ( X i^i R ) C_ X
6		xmetres2 15370	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( X i^i R ) C_ X ) -> ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) e. ( *Met ` ( X i^i R ) ) )
7	5, 6	mpan2 425	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) e. ( *Met ` ( X i^i R ) ) )
8	4, 7	eqeltrd 2311	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` ( X i^i R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   i^i cin 3213   C_ wss 3214   X. cxp 4752   dom cdm 4754   |` cres 4756   -->wf 5353   ` cfv 5357   RR*cxr 8323   *Metcxmet 14810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-xmet 14818

This theorem is referenced by:  blres  15425