Theorem xmetres 12371

Description: A restriction of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetres	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` ( X i^i R ) ) )

Proof of Theorem xmetres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 12339	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		fdm 5236	. . 3 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> dom D = ( X X. X ) )
3		metreslem 12369	. . 3 |- ( dom D = ( X X. X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) = ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) = ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) )
5		inss1 3262	. . 3 |- ( X i^i R ) C_ X
6		xmetres2 12368	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( X i^i R ) C_ X ) -> ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) e. ( *Met ` ( X i^i R ) ) )
7	5, 6	mpan2 419	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) e. ( *Met ` ( X i^i R ) ) )
8	4, 7	eqeltrd 2191	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` ( X i^i R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1314   e. wcel 1463   i^i cin 3036   C_ wss 3037   X. cxp 4497   dom cdm 4499   |` cres 4501   -->wf 5077   ` cfv 5081   RR*cxr 7723   *Metcxmet 11992

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-map 6498  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-xmet 12000

This theorem is referenced by:  blres  12423