ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetres Unicode version

Theorem xmetres 14109
Description: A restriction of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetres  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  R ) ) )

Proof of Theorem xmetres
StepHypRef Expression
1 xmetf 14077 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 fdm 5383 . . 3  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  dom 
D  =  ( X  X.  X ) )
3 metreslem 14107 . . 3  |-  ( dom 
D  =  ( X  X.  X )  -> 
( D  |`  ( R  X.  R ) )  =  ( D  |`  ( ( X  i^i  R )  X.  ( X  i^i  R ) ) ) )
41, 2, 33syl 17 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  =  ( D  |`  (
( X  i^i  R
)  X.  ( X  i^i  R ) ) ) )
5 inss1 3367 . . 3  |-  ( X  i^i  R )  C_  X
6 xmetres2 14106 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( X  i^i  R )  C_  X )  ->  ( D  |`  (
( X  i^i  R
)  X.  ( X  i^i  R ) ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  R ) ) )
75, 6mpan2 425 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( ( X  i^i  R )  X.  ( X  i^i  R
) ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  R ) ) )
84, 7eqeltrd 2264 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1363    e. wcel 2158    i^i cin 3140    C_ wss 3141    X. cxp 4636   dom cdm 4638    |` cres 4640   -->wf 5224   ` cfv 5228   RR*cxr 8004   *Metcxmet 13653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-map 6663  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-xmet 13661
This theorem is referenced by:  blres  14161
  Copyright terms: Public domain W3C validator