Theorem metres 15609

Description: A restriction of a metric is a metric. (Contributed by NM, 26-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metres	|- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( Met ` ( X i^i R ) ) )

Proof of Theorem metres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 15577	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
2		fdm 5542	. . 3 |- ( D : ( X X. X ) --> RR -> dom D = ( X X. X ) )
3		metreslem 15606	. . 3 |- ( dom D = ( X X. X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) = ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) = ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) )
5		inss1 3451	. . 3 |- ( X i^i R ) C_ X
6		metres2 15607	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( X i^i R ) C_ X ) -> ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) e. ( Met ` ( X i^i R ) ) )
7	5, 6	mpan2 429	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) e. ( Met ` ( X i^i R ) ) )
8	4, 7	eqeltrd 2315	1 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( Met ` ( X i^i R ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   i^i cin 3219   C_ wss 3220   X. cxp 4774   dom cdm 4776   |` cres 4778   -->wf 5376   ` cfv 5380   RRcr 8184   Metcmet 14983

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-rnegex 8294

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-xadd 10192  df-xmet 14990  df-met 14991

This theorem is used by: (None)