ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metres Unicode version

Theorem metres 12479
Description: A restriction of a metric is a metric. (Contributed by NM, 26-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metres  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  |`  ( R  X.  R
) )  e.  ( Met `  ( X  i^i  R ) ) )

Proof of Theorem metres
StepHypRef Expression
1 metf 12447 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
2 fdm 5248 . . 3  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  ->  dom 
D  =  ( X  X.  X ) )
3 metreslem 12476 . . 3  |-  ( dom 
D  =  ( X  X.  X )  -> 
( D  |`  ( R  X.  R ) )  =  ( D  |`  ( ( X  i^i  R )  X.  ( X  i^i  R ) ) ) )
41, 2, 33syl 17 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  |`  ( R  X.  R
) )  =  ( D  |`  ( ( X  i^i  R )  X.  ( X  i^i  R
) ) ) )
5 inss1 3266 . . 3  |-  ( X  i^i  R )  C_  X
6 metres2 12477 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  i^i  R )  C_  X )  ->  ( D  |`  ( ( X  i^i  R )  X.  ( X  i^i  R
) ) )  e.  ( Met `  ( X  i^i  R ) ) )
75, 6mpan2 421 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  |`  ( ( X  i^i  R )  X.  ( X  i^i  R ) ) )  e.  ( Met `  ( X  i^i  R
) ) )
84, 7eqeltrd 2194 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  |`  ( R  X.  R
) )  e.  ( Met `  ( X  i^i  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1316    e. wcel 1465    i^i cin 3040    C_ wss 3041    X. cxp 4507   dom cdm 4509    |` cres 4511   -->wf 5089   ` cfv 5093   RRcr 7587   Metcmet 12077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1re 7682  ax-addrcl 7685  ax-rnegex 7697
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-map 6512  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-xadd 9528  df-xmet 12084  df-met 12085
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator