Theorem metres 14970

Description: A restriction of a metric is a metric. (Contributed by NM, 26-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metres	|- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( Met ` ( X i^i R ) ) )

Proof of Theorem metres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 14938	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
2		fdm 5451	. . 3 |- ( D : ( X X. X ) --> RR -> dom D = ( X X. X ) )
3		metreslem 14967	. . 3 |- ( dom D = ( X X. X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) = ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) = ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) )
5		inss1 3401	. . 3 |- ( X i^i R ) C_ X
6		metres2 14968	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( X i^i R ) C_ X ) -> ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) e. ( Met ` ( X i^i R ) ) )
7	5, 6	mpan2 425	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D |` ( ( X i^i R ) X. ( X i^i R ) ) ) e. ( Met ` ( X i^i R ) ) )
8	4, 7	eqeltrd 2284	1 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( Met ` ( X i^i R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   i^i cin 3173   C_ wss 3174   X. cxp 4691   dom cdm 4693   |` cres 4695   -->wf 5286   ` cfv 5290   RRcr 7959   Metcmet 14414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057  ax-rnegex 8069

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-xadd 9930  df-xmet 14421  df-met 14422

This theorem is referenced by: (None)