Theorem metres2 13175

Description: Lemma for metres 13177. (Contributed by FL, 12-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metres2	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( Met ` R ) )

Proof of Theorem metres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 13149	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
2		xmetres2 13173	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) )
3	1, 2	sylan 281	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) )
4		metf 13145	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
5	4	adantr 274	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
6		simpr 109	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> R C_ X )
7		xpss12 4718	. . . 4 |- ( ( R C_ X /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
8	6, 7	sylancom 418	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
9	5, 8	fssresd 5374	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR )
10		ismet2 13148	. 2 |- ( ( D |` ( R X. R ) ) e. ( Met ` R ) <-> ( ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) /\ ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR ) )
11	3, 9, 10	sylanbrc 415	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( Met ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   C_ wss 3121   X. cxp 4609   |` cres 4613   -->wf 5194   ` cfv 5198   RRcr 7773   *Metcxmet 12774   Metcmet 12775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871  ax-rnegex 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-xadd 9730  df-xmet 12782  df-met 12783

This theorem is referenced by:  metres  13177  remet  13334