Theorem metres2 13817

Description: Lemma for metres 13819. (Contributed by FL, 12-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metres2	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( Met ` R ) )

Proof of Theorem metres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 13791	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
2		xmetres2 13815	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) )
4		metf 13787	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> R C_ X )
7		xpss12 4733	. . . 4 |- ( ( R C_ X /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
8	6, 7	sylancom 420	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
9	5, 8	fssresd 5392	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR )
10		ismet2 13790	. 2 |- ( ( D |` ( R X. R ) ) e. ( Met ` R ) <-> ( ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) /\ ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR ) )
11	3, 9, 10	sylanbrc 417	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( Met ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   C_ wss 3129   X. cxp 4624   |` cres 4628   -->wf 5212   ` cfv 5216   RRcr 7809   *Metcxmet 13376   Metcmet 13377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-rnegex 7919

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-xadd 9772  df-xmet 13384  df-met 13385

This theorem is referenced by:  metres  13819  remet  13976