Theorem metres2 15055

Description: Lemma for metres 15057. (Contributed by FL, 12-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metres2	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( Met ` R ) )

Proof of Theorem metres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 15029	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
2		xmetres2 15053	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) )
4		metf 15025	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> R C_ X )
7		xpss12 4826	. . . 4 |- ( ( R C_ X /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
8	6, 7	sylancom 420	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
9	5, 8	fssresd 5502	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR )
10		ismet2 15028	. 2 |- ( ( D |` ( R X. R ) ) e. ( Met ` R ) <-> ( ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) /\ ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR ) )
11	3, 9, 10	sylanbrc 417	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( Met ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   C_ wss 3197   X. cxp 4717   |` cres 4721   -->wf 5314   ` cfv 5318   RRcr 7998   *Metcxmet 14500   Metcmet 14501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096  ax-rnegex 8108

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-map 6797  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-xadd 9969  df-xmet 14508  df-met 14509

This theorem is referenced by:  metres  15057  remet  15222