Theorem metres2 13966

Description: Lemma for metres 13968. (Contributed by FL, 12-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metres2	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( Met ` R ) )

Proof of Theorem metres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 13940	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
2		xmetres2 13964	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) )
4		metf 13936	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> R C_ X )
7		xpss12 4735	. . . 4 |- ( ( R C_ X /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
8	6, 7	sylancom 420	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
9	5, 8	fssresd 5394	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR )
10		ismet2 13939	. 2 |- ( ( D |` ( R X. R ) ) e. ( Met ` R ) <-> ( ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) /\ ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR ) )
11	3, 9, 10	sylanbrc 417	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( Met ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   C_ wss 3131   X. cxp 4626   |` cres 4630   -->wf 5214   ` cfv 5218   RRcr 7812   *Metcxmet 13525   Metcmet 13526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910  ax-rnegex 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-xadd 9775  df-xmet 13533  df-met 13534

This theorem is referenced by:  metres  13968  remet  14125