ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metres2 Unicode version

Theorem metres2 13817
Description: Lemma for metres 13819. (Contributed by FL, 12-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metres2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( Met `  R
) )

Proof of Theorem metres2
StepHypRef Expression
1 metxmet 13791 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2 xmetres2 13815 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  R  C_  X
)  ->  ( D  |`  ( R  X.  R
) )  e.  ( *Met `  R
) )
31, 2sylan 283 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( *Met `  R ) )
4 metf 13787 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
54adantr 276 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
6 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  R  C_  X )
7 xpss12 4733 . . . 4  |-  ( ( R  C_  X  /\  R  C_  X )  -> 
( R  X.  R
)  C_  ( X  X.  X ) )
86, 7sylancom 420 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( R  X.  R )  C_  ( X  X.  X
) )
95, 8fssresd 5392 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) ) : ( R  X.  R
) --> RR )
10 ismet2 13790 . 2  |-  ( ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( Met `  R
)  <->  ( ( D  |`  ( R  X.  R
) )  e.  ( *Met `  R
)  /\  ( D  |`  ( R  X.  R
) ) : ( R  X.  R ) --> RR ) )
113, 9, 10sylanbrc 417 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( Met `  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2148    C_ wss 3129    X. cxp 4624    |` cres 4628   -->wf 5212   ` cfv 5216   RRcr 7809   *Metcxmet 13376   Metcmet 13377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-rnegex 7919
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-xadd 9772  df-xmet 13384  df-met 13385
This theorem is referenced by:  metres  13819  remet  13976
  Copyright terms: Public domain W3C validator