Theorem xmetres 13967

Description: A restriction of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetres	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))

Proof of Theorem xmetres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 13935	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fdm 5373	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3		metreslem 13965	. . 3 ⊢ (dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))))
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))))
5		inss1 3357	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑅) ⊆ 𝑋
6		xmetres2 13964	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑋 ∩ 𝑅) ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))
7	5, 6	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))
8	4, 7	eqeltrd 2254	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∩ cin 3130   ⊆ wss 3131   × cxp 4626  dom cdm 4628   ↾ cres 4630  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  ℝ^*cxr 7993  ∞Metcxmet 13525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-xmet 13533

This theorem is referenced by:  blres  14019