ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elxr Unicode version

Theorem elxr 9790
Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
elxr  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )

Proof of Theorem elxr
StepHypRef Expression
1 df-xr 8010 . . 3  |-  RR*  =  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
21eleq2i 2254 . 2  |-  ( A  e.  RR*  <->  A  e.  ( RR  u.  { +oo , -oo } ) )
3 elun 3288 . 2  |-  ( A  e.  ( RR  u.  { +oo , -oo }
)  <->  ( A  e.  RR  \/  A  e. 
{ +oo , -oo }
) )
4 pnfex 8025 . . . . 5  |- +oo  e.  _V
5 mnfxr 8028 . . . . . 6  |- -oo  e.  RR*
65elexi 2761 . . . . 5  |- -oo  e.  _V
74, 6elpr2 3626 . . . 4  |-  ( A  e.  { +oo , -oo }  <->  ( A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
87orbi2i 763 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  e.  { +oo , -oo } )  <->  ( A  e.  RR  \/  ( A  = +oo  \/  A  = -oo ) ) )
9 3orass 982 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo )  <->  ( A  e.  RR  \/  ( A  = +oo  \/  A  = -oo ) ) )
108, 9bitr4i 187 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  e.  { +oo , -oo } )  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
112, 3, 103bitri 206 1  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 105    \/ wo 709    \/ w3o 978    = wceq 1363    e. wcel 2158    u. cun 3139   {cpr 3605   RRcr 7824   +oocpnf 8003   -oocmnf 8004   RR*cxr 8005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-un 4445  ax-cnex 7916
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-uni 3822  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010
This theorem is referenced by:  xrnemnf  9791  xrnepnf  9792  xrltnr  9793  xrltnsym  9807  xrlttr  9809  xrltso  9810  xrlttri3  9811  nltpnft  9828  npnflt  9829  ngtmnft  9831  nmnfgt  9832  xrrebnd  9833  xnegcl  9846  xnegneg  9847  xltnegi  9849  xrpnfdc  9856  xrmnfdc  9857  xnegid  9873  xaddcom  9875  xaddid1  9876  xnegdi  9882  xleadd1a  9887  xltadd1  9890  xlt2add  9894  xsubge0  9895  xposdif  9896  xleaddadd  9901  qbtwnxr  10272  xrmaxiflemcl  11267  xrmaxifle  11268  xrmaxiflemab  11269  xrmaxiflemlub  11270  xrmaxltsup  11280  xrmaxadd  11283  xrbdtri  11298  isxmet2d  14201  blssioo  14398
  Copyright terms: Public domain W3C validator