Theorem elxr 10188

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	|- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8364	. . 3 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2	1	eleq2i 2305	. 2 |- ( A e. RR* <-> A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
3		elun 3370	. 2 |- ( A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) )
4		pnfex 8379	. . . . 5 |- +oo e. _V
5		mnfxr 8382	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
6	5	elexi 2834	. . . . 5 |- -oo e. _V
7	4, 6	elpr2 3731	. . . 4 |- ( A e. { +oo , -oo } <-> ( A = +oo \/ A = -oo ) )
8	7	orbi2i 774	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
9		3orass 1012	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   {cpr 3710   RRcr 8178   +oocpnf 8357   -oocmnf 8358   RR*cxr 8359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-un 4578  ax-cnex 8270

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364

This theorem is used by:  xrnemnf  10189  xrnepnf  10190  xrltnr  10191  xrltnsym  10205  xrlttr  10207  xrltso  10208  xrlttri3  10209  nltpnft  10226  npnflt  10227  ngtmnft  10229  nmnfgt  10230  xrrebnd  10231  xnegcl  10244  xnegneg  10245  xltnegi  10247  xrpnfdc  10254  xrmnfdc  10255  xnegid  10271  xaddcom  10273  xaddid1  10274  xnegdi  10280  xleadd1a  10285  xltadd1  10288  xlt2add  10292  xsubge0  10293  xposdif  10294  xleaddadd  10299  qbtwnxr  10702  xrmaxiflemcl  12027  xrmaxifle  12028  xrmaxiflemab  12029  xrmaxiflemlub  12030  xrmaxltsup  12040  xrmaxadd  12043  xrbdtri  12058  isxmet2d  15498  blssioo  15703