Theorem elxr 10157

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	|- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8354	. . 3 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2	1	eleq2i 2305	. 2 |- ( A e. RR* <-> A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
3		elun 3370	. 2 |- ( A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) )
4		pnfex 8369	. . . . 5 |- +oo e. _V
5		mnfxr 8372	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
6	5	elexi 2834	. . . . 5 |- -oo e. _V
7	4, 6	elpr2 3727	. . . 4 |- ( A e. { +oo , -oo } <-> ( A = +oo \/ A = -oo ) )
8	7	orbi2i 774	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
9		3orass 1012	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   {cpr 3706   RRcr 8168   +oocpnf 8347   -oocmnf 8348   RR*cxr 8349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-un 4573  ax-cnex 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354

This theorem is referenced by:  xrnemnf  10158  xrnepnf  10159  xrltnr  10160  xrltnsym  10174  xrlttr  10176  xrltso  10177  xrlttri3  10178  nltpnft  10195  npnflt  10196  ngtmnft  10198  nmnfgt  10199  xrrebnd  10200  xnegcl  10213  xnegneg  10214  xltnegi  10216  xrpnfdc  10223  xrmnfdc  10224  xnegid  10240  xaddcom  10242  xaddid1  10243  xnegdi  10249  xleadd1a  10254  xltadd1  10257  xlt2add  10261  xsubge0  10262  xposdif  10263  xleaddadd  10268  qbtwnxr  10670  xrmaxiflemcl  11989  xrmaxifle  11990  xrmaxiflemab  11991  xrmaxiflemlub  11992  xrmaxltsup  12002  xrmaxadd  12005  xrbdtri  12020  isxmet2d  15372  blssioo  15577