Theorem elxr 10010

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	|- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8217	. . 3 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2	1	eleq2i 2298	. 2 |- ( A e. RR* <-> A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
3		elun 3348	. 2 |- ( A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) )
4		pnfex 8232	. . . . 5 |- +oo e. _V
5		mnfxr 8235	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
6	5	elexi 2815	. . . . 5 |- -oo e. _V
7	4, 6	elpr2 3691	. . . 4 |- ( A e. { +oo , -oo } <-> ( A = +oo \/ A = -oo ) )
8	7	orbi2i 769	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
9		3orass 1007	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 715   \/ w3o 1003   = wceq 1397   e. wcel 2202   u. cun 3198   {cpr 3670   RRcr 8030   +oocpnf 8210   -oocmnf 8211   RR*cxr 8212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-un 4530  ax-cnex 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217

This theorem is referenced by:  xrnemnf  10011  xrnepnf  10012  xrltnr  10013  xrltnsym  10027  xrlttr  10029  xrltso  10030  xrlttri3  10031  nltpnft  10048  npnflt  10049  ngtmnft  10051  nmnfgt  10052  xrrebnd  10053  xnegcl  10066  xnegneg  10067  xltnegi  10069  xrpnfdc  10076  xrmnfdc  10077  xnegid  10093  xaddcom  10095  xaddid1  10096  xnegdi  10102  xleadd1a  10107  xltadd1  10110  xlt2add  10114  xsubge0  10115  xposdif  10116  xleaddadd  10121  qbtwnxr  10516  xrmaxiflemcl  11805  xrmaxifle  11806  xrmaxiflemab  11807  xrmaxiflemlub  11808  xrmaxltsup  11818  xrmaxadd  11821  xrbdtri  11836  isxmet2d  15071  blssioo  15276