Theorem elxr 10194

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	|- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8370	. . 3 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2	1	eleq2i 2305	. 2 |- ( A e. RR* <-> A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
3		elun 3370	. 2 |- ( A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) )
4		pnfex 8385	. . . . 5 |- +oo e. _V
5		mnfxr 8388	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
6	5	elexi 2834	. . . . 5 |- -oo e. _V
7	4, 6	elpr2 3731	. . . 4 |- ( A e. { +oo , -oo } <-> ( A = +oo \/ A = -oo ) )
8	7	orbi2i 774	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
9		3orass 1012	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   {cpr 3710   RRcr 8184   +oocpnf 8363   -oocmnf 8364   RR*cxr 8365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-un 4580  ax-cnex 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370

This theorem is used by:  xrnemnf  10195  xrnepnf  10196  xrltnr  10197  xrltnsym  10211  xrlttr  10213  xrltso  10214  xrlttri3  10215  nltpnft  10232  npnflt  10233  ngtmnft  10235  nmnfgt  10236  xrrebnd  10237  xnegcl  10250  xnegneg  10251  xltnegi  10253  xrpnfdc  10260  xrmnfdc  10261  xnegid  10277  xaddcom  10279  xaddid1  10280  xnegdi  10286  xleadd1a  10291  xltadd1  10294  xlt2add  10298  xsubge0  10299  xposdif  10300  xleaddadd  10305  qbtwnxr  10708  xrmaxiflemcl  12035  xrmaxifle  12036  xrmaxiflemab  12037  xrmaxiflemlub  12038  xrmaxltsup  12048  xrmaxadd  12051  xrbdtri  12066  isxmet2d  15591  blssioo  15796