Theorem elxr 10128

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	|- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8328	. . 3 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2	1	eleq2i 2301	. 2 |- ( A e. RR* <-> A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
3		elun 3364	. 2 |- ( A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) )
4		pnfex 8343	. . . . 5 |- +oo e. _V
5		mnfxr 8346	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
6	5	elexi 2828	. . . . 5 |- -oo e. _V
7	4, 6	elpr2 3716	. . . 4 |- ( A e. { +oo , -oo } <-> ( A = +oo \/ A = -oo ) )
8	7	orbi2i 770	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
9		3orass 1008	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 716   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2205   u. cun 3212   {cpr 3695   RRcr 8142   +oocpnf 8321   -oocmnf 8322   RR*cxr 8323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-un 4559  ax-cnex 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328

This theorem is referenced by:  xrnemnf  10129  xrnepnf  10130  xrltnr  10131  xrltnsym  10145  xrlttr  10147  xrltso  10148  xrlttri3  10149  nltpnft  10166  npnflt  10167  ngtmnft  10169  nmnfgt  10170  xrrebnd  10171  xnegcl  10184  xnegneg  10185  xltnegi  10187  xrpnfdc  10194  xrmnfdc  10195  xnegid  10211  xaddcom  10213  xaddid1  10214  xnegdi  10220  xleadd1a  10225  xltadd1  10228  xlt2add  10232  xsubge0  10233  xposdif  10234  xleaddadd  10239  qbtwnxr  10641  xrmaxiflemcl  11955  xrmaxifle  11956  xrmaxiflemab  11957  xrmaxiflemlub  11958  xrmaxltsup  11968  xrmaxadd  11971  xrbdtri  11986  isxmet2d  15339  blssioo  15544