Theorem elxr 10189

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	|- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8365	. . 3 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2	1	eleq2i 2305	. 2 |- ( A e. RR* <-> A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
3		elun 3370	. 2 |- ( A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) )
4		pnfex 8380	. . . . 5 |- +oo e. _V
5		mnfxr 8383	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
6	5	elexi 2834	. . . . 5 |- -oo e. _V
7	4, 6	elpr2 3731	. . . 4 |- ( A e. { +oo , -oo } <-> ( A = +oo \/ A = -oo ) )
8	7	orbi2i 774	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
9		3orass 1012	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   {cpr 3710   RRcr 8179   +oocpnf 8358   -oocmnf 8359   RR*cxr 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-un 4578  ax-cnex 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365

This theorem is used by:  xrnemnf  10190  xrnepnf  10191  xrltnr  10192  xrltnsym  10206  xrlttr  10208  xrltso  10209  xrlttri3  10210  nltpnft  10227  npnflt  10228  ngtmnft  10230  nmnfgt  10231  xrrebnd  10232  xnegcl  10245  xnegneg  10246  xltnegi  10248  xrpnfdc  10255  xrmnfdc  10256  xnegid  10272  xaddcom  10274  xaddid1  10275  xnegdi  10281  xleadd1a  10286  xltadd1  10289  xlt2add  10293  xsubge0  10294  xposdif  10295  xleaddadd  10300  qbtwnxr  10703  xrmaxiflemcl  12030  xrmaxifle  12031  xrmaxiflemab  12032  xrmaxiflemlub  12033  xrmaxltsup  12043  xrmaxadd  12046  xrbdtri  12061  isxmet2d  15540  blssioo  15745