Theorem elxr 10195

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	|- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8370	. . 3 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2	1	eleq2i 2305	. 2 |- ( A e. RR* <-> A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
3		elun 3370	. 2 |- ( A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) )
4		pnfex 8385	. . . . 5 |- +oo e. _V
5		mnfxr 8388	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
6	5	elexi 2834	. . . . 5 |- -oo e. _V
7	4, 6	elpr2 3731	. . . 4 |- ( A e. { +oo , -oo } <-> ( A = +oo \/ A = -oo ) )
8	7	orbi2i 774	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
9		3orass 1012	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   {cpr 3710   RRcr 8184   +oocpnf 8363   -oocmnf 8364   RR*cxr 8365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-un 4580  ax-cnex 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370

This theorem is used by:  xrnemnf  10196  xrnepnf  10197  xrltnr  10198  xrltnsym  10212  xrlttr  10214  xrltso  10215  xrlttri3  10216  nltpnft  10233  npnflt  10234  ngtmnft  10236  nmnfgt  10237  xrrebnd  10238  xnegcl  10251  xnegneg  10252  xltnegi  10254  xrpnfdc  10261  xrmnfdc  10262  xnegid  10278  xaddcom  10280  xaddid1  10281  xnegdi  10287  xleadd1a  10292  xltadd1  10295  xlt2add  10299  xsubge0  10300  xposdif  10301  xleaddadd  10306  qbtwnxr  10709  xrmaxiflemcl  12036  xrmaxifle  12037  xrmaxiflemab  12038  xrmaxiflemlub  12039  xrmaxltsup  12049  xrmaxadd  12052  xrbdtri  12067  isxmet2d  15574  blssioo  15779