Theorem elxr 10109

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	|- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8312	. . 3 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2	1	eleq2i 2299	. 2 |- ( A e. RR* <-> A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
3		elun 3360	. 2 |- ( A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) )
4		pnfex 8327	. . . . 5 |- +oo e. _V
5		mnfxr 8330	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
6	5	elexi 2826	. . . . 5 |- -oo e. _V
7	4, 6	elpr2 3711	. . . 4 |- ( A e. { +oo , -oo } <-> ( A = +oo \/ A = -oo ) )
8	7	orbi2i 770	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
9		3orass 1008	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 716   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2203   u. cun 3209   {cpr 3690   RRcr 8126   +oocpnf 8305   -oocmnf 8306   RR*cxr 8307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-un 4554  ax-cnex 8218

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312

This theorem is referenced by:  xrnemnf  10110  xrnepnf  10111  xrltnr  10112  xrltnsym  10126  xrlttr  10128  xrltso  10129  xrlttri3  10130  nltpnft  10147  npnflt  10148  ngtmnft  10150  nmnfgt  10151  xrrebnd  10152  xnegcl  10165  xnegneg  10166  xltnegi  10168  xrpnfdc  10175  xrmnfdc  10176  xnegid  10192  xaddcom  10194  xaddid1  10195  xnegdi  10201  xleadd1a  10206  xltadd1  10209  xlt2add  10213  xsubge0  10214  xposdif  10215  xleaddadd  10220  qbtwnxr  10617  xrmaxiflemcl  11930  xrmaxifle  11931  xrmaxiflemab  11932  xrmaxiflemlub  11933  xrmaxltsup  11943  xrmaxadd  11946  xrbdtri  11961  isxmet2d  15213  blssioo  15418