Theorem elxr 10055

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	|- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8260	. . 3 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2	1	eleq2i 2298	. 2 |- ( A e. RR* <-> A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
3		elun 3350	. 2 |- ( A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) )
4		pnfex 8275	. . . . 5 |- +oo e. _V
5		mnfxr 8278	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
6	5	elexi 2816	. . . . 5 |- -oo e. _V
7	4, 6	elpr2 3695	. . . 4 |- ( A e. { +oo , -oo } <-> ( A = +oo \/ A = -oo ) )
8	7	orbi2i 770	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
9		3orass 1008	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 716   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2202   u. cun 3199   {cpr 3674   RRcr 8074   +oocpnf 8253   -oocmnf 8254   RR*cxr 8255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-un 4536  ax-cnex 8166

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260

This theorem is referenced by:  xrnemnf  10056  xrnepnf  10057  xrltnr  10058  xrltnsym  10072  xrlttr  10074  xrltso  10075  xrlttri3  10076  nltpnft  10093  npnflt  10094  ngtmnft  10096  nmnfgt  10097  xrrebnd  10098  xnegcl  10111  xnegneg  10112  xltnegi  10114  xrpnfdc  10121  xrmnfdc  10122  xnegid  10138  xaddcom  10140  xaddid1  10141  xnegdi  10147  xleadd1a  10152  xltadd1  10155  xlt2add  10159  xsubge0  10160  xposdif  10161  xleaddadd  10166  qbtwnxr  10563  xrmaxiflemcl  11868  xrmaxifle  11869  xrmaxiflemab  11870  xrmaxiflemlub  11871  xrmaxltsup  11881  xrmaxadd  11884  xrbdtri  11899  isxmet2d  15142  blssioo  15347