Theorem elxr 10001

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	|- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8208	. . 3 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2	1	eleq2i 2296	. 2 |- ( A e. RR* <-> A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
3		elun 3346	. 2 |- ( A e. ( RR u. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) )
4		pnfex 8223	. . . . 5 |- +oo e. _V
5		mnfxr 8226	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
6	5	elexi 2813	. . . . 5 |- -oo e. _V
7	4, 6	elpr2 3689	. . . 4 |- ( A e. { +oo , -oo } <-> ( A = +oo \/ A = -oo ) )
8	7	orbi2i 767	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
9		3orass 1005	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) <-> ( A e. RR \/ ( A = +oo \/ A = -oo ) ) )
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A e. { +oo , -oo } ) <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 713   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3196   {cpr 3668   RRcr 8021   +oocpnf 8201   -oocmnf 8202   RR*cxr 8203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-un 4528  ax-cnex 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3892  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208

This theorem is referenced by:  xrnemnf  10002  xrnepnf  10003  xrltnr  10004  xrltnsym  10018  xrlttr  10020  xrltso  10021  xrlttri3  10022  nltpnft  10039  npnflt  10040  ngtmnft  10042  nmnfgt  10043  xrrebnd  10044  xnegcl  10057  xnegneg  10058  xltnegi  10060  xrpnfdc  10067  xrmnfdc  10068  xnegid  10084  xaddcom  10086  xaddid1  10087  xnegdi  10093  xleadd1a  10098  xltadd1  10101  xlt2add  10105  xsubge0  10106  xposdif  10107  xleaddadd  10112  qbtwnxr  10507  xrmaxiflemcl  11796  xrmaxifle  11797  xrmaxiflemab  11798  xrmaxiflemlub  11799  xrmaxltsup  11809  xrmaxadd  11812  xrbdtri  11827  isxmet2d  15062  blssioo  15267