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Theorem resqrexlemover 11046
Description: Lemma for resqrex 11062. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemover ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemover
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5531 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → (𝐹𝑤) = (𝐹‘1))
21oveq1d 5907 . . . . 5 (𝑤 = 1 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
32breq2d 4030 . . . 4 (𝑤 = 1 → (𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘1)↑2)))
43imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 1 → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2)) ↔ (𝜑𝐴 < ((𝐹‘1)↑2))))
5 fveq2 5531 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
65oveq1d 5907 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
76breq2d 4030 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)))
87imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2)) ↔ (𝜑𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2))))
9 fveq2 5531 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
109oveq1d 5907 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
1110breq2d 4030 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2)))
1211imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2)) ↔ (𝜑𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
13 fveq2 5531 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑁))
1413oveq1d 5907 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹𝑁)↑2))
1514breq2d 4030 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → (𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2)))
1615imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2)) ↔ (𝜑𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))))
17 resqrexlemex.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1817resqcld 10706 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19 2re 9014 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2019a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
2120, 17remulcld 8013 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
2218, 21readdcld 8012 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
23 1red 7997 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 8012 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
2517recnd 8011 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2625mulid2d 8001 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
27 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
28 1le2 9152 . . . . . . . . 9 1 ≤ 2
29 lemul1a 8840 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 1 ≤ 2) → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
3028, 29mpan2 425 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
3123, 20, 17, 27, 30syl112anc 1253 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
3226, 31eqbrtrrd 4042 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≤ (2 · 𝐴))
3317sqge0d 10707 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))
3421, 18addge02d 8516 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ (𝐴↑2) ↔ (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴))))
3533, 34mpbid 147 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)))
3617, 21, 22, 32, 35letrd 8106 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)))
3722ltp1d 8912 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) < (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
3817, 22, 24, 36, 37lelttrd 8107 . . . 4 (𝜑𝐴 < (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
39 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
4039, 17, 27resqrexlemf1 11044 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) = (1 + 𝐴))
41 1cnd 7998 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4241, 25addcomd 8133 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
4340, 42eqtrd 2222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐴 + 1))
4443oveq1d 5907 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) = ((𝐴 + 1)↑2))
45 binom21 10659 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
4625, 45syl 14 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
4744, 46eqtrd 2222 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
4838, 47breqtrrd 4046 . . 3 (𝜑𝐴 < ((𝐹‘1)↑2))
4939, 17, 27resqrexlemf 11043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5049ffvelcdmda 5668 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5150rpred 9721 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5217adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5352, 50rerpdivcld 9753 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5451, 53resubcld 8363 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
5554adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
5655resqcld 10706 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) ∈ ℝ)
57 4re 9021 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
5857a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 4 ∈ ℝ)
5951resqcld 10706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ)
6059, 52resubcld 8363 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
6160adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
6251adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6352, 59posdifd 8514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2) ↔ 0 < (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴)))
6463biimpa 296 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴))
6550rpgt0d 9724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐹𝑘))
6665adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < (𝐹𝑘))
6761, 62, 64, 66divgt0d 8917 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹𝑘)))
6851recnd 8011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6968sqcld 10678 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℂ)
7069adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℂ)
7125adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7271adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7368adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7450rpap0d 9727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) # 0)
7574adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝐹𝑘) # 0)
7670, 72, 73, 75divsubdirapd 8812 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹𝑘)) = ((((𝐹𝑘)↑2) / (𝐹𝑘)) − (𝐴 / (𝐹𝑘))))
7773sqvald 10677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((𝐹𝑘)↑2) = ((𝐹𝑘) · (𝐹𝑘)))
7877oveq1d 5907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘)↑2) / (𝐹𝑘)) = (((𝐹𝑘) · (𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
7973, 73, 75divcanap3d 8777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘) · (𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
8078, 79eqtrd 2222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘)↑2) / (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
8180oveq1d 5907 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((((𝐹𝑘)↑2) / (𝐹𝑘)) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) = ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))))
8276, 81eqtrd 2222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))))
8367, 82breqtrd 4044 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))))
8455, 83gt0ap0d 8611 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) # 0)
8555, 84sqgt0apd 10708 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2))
86 4pos 9041 . . . . . . . . . 10 0 < 4
8786a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < 4)
8856, 58, 85, 87divgt0d 8917 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4))
8957, 86gt0ap0ii 8610 . . . . . . . . . . 11 4 # 0
9089a1i 9 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 4 # 0)
9156, 58, 90redivclapd 8817 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) ∈ ℝ)
9252adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9391, 92ltaddpos2d 8512 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (0 < ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) ↔ 𝐴 < (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
9488, 93mpbid 147 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 𝐴 < (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
9539, 17, 27resqrexlemfp1 11045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2))
9695oveq1d 5907 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2)↑2))
9751, 53readdcld 8012 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
9897recnd 8011 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℂ)
99 2cnd 9017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
100 2ap0 9037 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 # 0
101100a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 2 # 0)
10298, 99, 101sqdivapd 10693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2)↑2) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / (2↑2)))
10396, 102eqtrd 2222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / (2↑2)))
104 sq2 10642 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑2) = 4
105104oveq2i 5903 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / (2↑2)) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4)
106103, 105eqtrdi 2238 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4))
10771, 68, 74divcanap2d 8774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))) = 𝐴)
108107oveq2d 5908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘)))) = (2 · 𝐴))
109108oveq2d 5908 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) = (((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)))
110109oveq1d 5907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
111110oveq1d 5907 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
11253recnd 8011 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
113 binom2sub 10660 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
11468, 112, 113syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
115114oveq1d 5907 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
116 binom2 10658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
11768, 112, 116syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
118108oveq2d 5908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) = (((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)))
119118oveq1d 5907 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) = ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
120117, 119eqtrd 2222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
12199, 71mulcld 8003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
122121negcld 8280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -(2 · 𝐴) ∈ ℂ)
123 4cn 9022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ ℂ
124123a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
125124, 71mulcld 8003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
12669, 122, 125addassd 8005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) = (((𝐹𝑘)↑2) + (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴))))
12769, 121negsubd 8299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) = (((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)))
128127oveq1d 5907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)))
129 2cn 9015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℂ
130129negcli 8250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -2 ∈ ℂ
131130a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -2 ∈ ℂ)
132131, 124, 71adddird 8008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 + 4) · 𝐴) = ((-2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
13399, 71mulneg1d 8393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · 𝐴) = -(2 · 𝐴))
134133oveq1d 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)) = (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
135132, 134eqtrd 2222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 + 4) · 𝐴) = (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
136130, 129, 129addassi 7990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-2 + 2) + 2) = (-2 + (2 + 2))
137129subidi 8253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 − 2) = 0
138137negeqi 8176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -(2 − 2) = -0
139129, 129negsubdii 8267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -(2 − 2) = (-2 + 2)
140 neg0 8228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -0 = 0
141138, 139, 1403eqtr3i 2218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-2 + 2) = 0
142141oveq1i 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-2 + 2) + 2) = (0 + 2)
143129addid2i 8125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 + 2) = 2
144142, 143eqtri 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-2 + 2) + 2) = 2
145 2p2e4 9071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 + 2) = 4
146145oveq2i 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-2 + (2 + 2)) = (-2 + 4)
147136, 144, 1463eqtr3ri 2219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-2 + 4) = 2
148147oveq1i 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-2 + 4) · 𝐴) = (2 · 𝐴)
149135, 148eqtr3di 2237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)) = (2 · 𝐴))
150149oveq2d 5908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) + (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴))) = (((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)))
151126, 128, 1503eqtr3rd 2231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)))
152151oveq1d 5907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
15319a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
154153, 52remulcld 8013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
15559, 154resubcld 8363 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
15657a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
157156, 52remulcld 8013 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ)
15853resqcld 10706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2) ∈ ℝ)
159 recn 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ ℝ → 𝑓 ∈ ℂ)
160 recn 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ ℝ → 𝑔 ∈ ℂ)
161 addcom 8119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
162159, 160, 161syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
163162adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
164 recn 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ ℝ → ∈ ℂ)
165 addass 7966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ ∧ ∈ ℂ) → ((𝑓 + 𝑔) + ) = (𝑓 + (𝑔 + )))
166159, 160, 164, 165syl3an 1291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ ∈ ℝ) → ((𝑓 + 𝑔) + ) = (𝑓 + (𝑔 + )))
167166adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ ∈ ℝ)) → ((𝑓 + 𝑔) + ) = (𝑓 + (𝑔 + )))
168155, 157, 158, 163, 167caov32d 6073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
169120, 152, 1683eqtrd 2226 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
170111, 115, 1693eqtr4rd 2233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)))
171170oveq1d 5907 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4))
172106, 171eqtrd 2222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4))
17368, 112subcld 8293 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℂ)
174173sqcld 10678 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) ∈ ℂ)
17589a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 # 0)
176174, 125, 124, 175divdirapd 8811 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + ((4 · 𝐴) / 4)))
17771, 124, 175divcanap3d 8777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((4 · 𝐴) / 4) = 𝐴)
178177oveq2d 5908 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + ((4 · 𝐴) / 4)) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
179172, 176, 1783eqtrd 2226 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
180179breq2d 4030 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ↔ 𝐴 < (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
181180adantr 276 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ↔ 𝐴 < (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
18294, 181mpbird 167 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
183182ex 115 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2)))
184183expcom 116 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
185184a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝜑𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
1864, 8, 12, 16, 48, 185nnind 8960 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2)))
187186impcom 125 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  {csn 3607   class class class wbr 4018   × cxp 4639  cfv 5232  (class class class)co 5892  cmpo 5894  cc 7834  cr 7835  0cc0 7836  1c1 7837   + caddc 7839   · cmul 7841   < clt 8017  cle 8018  cmin 8153  -cneg 8154   # cap 8563   / cdiv 8654  cn 8944  2c2 8995  4c4 8997  +crp 9678  seqcseq 10471  cexp 10545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554  df-rp 9679  df-seqfrec 10472  df-exp 10546
This theorem is referenced by:  resqrexlemdec  11047  resqrexlemcalc2  11051  resqrexlemnmsq  11053  resqrexlemga  11059
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