ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemover GIF version

Theorem resqrexlemover 11018
Description: Lemma for resqrex 11034. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemover ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘)↑2))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemover
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž π‘˜ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5515 . . . . . 6 (𝑀 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜1))
21oveq1d 5889 . . . . 5 (𝑀 = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2) = ((πΉβ€˜1)↑2))
32breq2d 4015 . . . 4 (𝑀 = 1 β†’ (𝐴 < ((πΉβ€˜π‘€)↑2) ↔ 𝐴 < ((πΉβ€˜1)↑2)))
43imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘€)↑2)) ↔ (πœ‘ β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜1)↑2))))
5 fveq2 5515 . . . . . 6 (𝑀 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘˜))
65oveq1d 5889 . . . . 5 (𝑀 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑2))
76breq2d 4015 . . . 4 (𝑀 = π‘˜ β†’ (𝐴 < ((πΉβ€˜π‘€)↑2) ↔ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)))
87imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘€)↑2)) ↔ (πœ‘ β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2))))
9 fveq2 5515 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
109oveq1d 5889 . . . . 5 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2) = ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2))
1110breq2d 4015 . . . 4 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝐴 < ((πΉβ€˜π‘€)↑2) ↔ 𝐴 < ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2)))
1211imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘€)↑2)) ↔ (πœ‘ β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2))))
13 fveq2 5515 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑁 β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘))
1413oveq1d 5889 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2) = ((πΉβ€˜π‘)↑2))
1514breq2d 4015 . . . 4 (𝑀 = 𝑁 β†’ (𝐴 < ((πΉβ€˜π‘€)↑2) ↔ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘)↑2)))
1615imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘€)↑2)) ↔ (πœ‘ β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘)↑2))))
17 resqrexlemex.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1817resqcld 10679 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19 2re 8988 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2019a1i 9 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
2120, 17remulcld 7987 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ)
2218, 21readdcld 7986 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑2) + (2 Β· 𝐴)) ∈ ℝ)
23 1red 7971 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 7986 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐴↑2) + (2 Β· 𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
2517recnd 7985 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2625mulid2d 7975 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 Β· 𝐴) = 𝐴)
27 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
28 1le2 9126 . . . . . . . . 9 1 ≀ 2
29 lemul1a 8814 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ 1 ≀ 2) β†’ (1 Β· 𝐴) ≀ (2 Β· 𝐴))
3028, 29mpan2 425 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) β†’ (1 Β· 𝐴) ≀ (2 Β· 𝐴))
3123, 20, 17, 27, 30syl112anc 1242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 Β· 𝐴) ≀ (2 Β· 𝐴))
3226, 31eqbrtrrd 4027 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ (2 Β· 𝐴))
3317sqge0d 10680 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐴↑2))
3421, 18addge02d 8490 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (𝐴↑2) ↔ (2 Β· 𝐴) ≀ ((𝐴↑2) + (2 Β· 𝐴))))
3533, 34mpbid 147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐴) ≀ ((𝐴↑2) + (2 Β· 𝐴)))
3617, 21, 22, 32, 35letrd 8080 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ ((𝐴↑2) + (2 Β· 𝐴)))
3722ltp1d 8886 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑2) + (2 Β· 𝐴)) < (((𝐴↑2) + (2 Β· 𝐴)) + 1))
3817, 22, 24, 36, 37lelttrd 8081 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (((𝐴↑2) + (2 Β· 𝐴)) + 1))
39 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
4039, 17, 27resqrexlemf1 11016 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (1 + 𝐴))
41 1cnd 7972 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
4241, 25addcomd 8107 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
4340, 42eqtrd 2210 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (𝐴 + 1))
4443oveq1d 5889 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜1)↑2) = ((𝐴 + 1)↑2))
45 binom21 10632 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 Β· 𝐴)) + 1))
4625, 45syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 Β· 𝐴)) + 1))
4744, 46eqtrd 2210 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 Β· 𝐴)) + 1))
4838, 47breqtrrd 4031 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜1)↑2))
4939, 17, 27resqrexlemf 11015 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
5049ffvelcdmda 5651 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
5150rpred 9695 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5217adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5352, 50rerpdivcld 9727 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
5451, 53resubcld 8337 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
5554adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
5655resqcld 10679 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) ∈ ℝ)
57 4re 8995 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
5857a1i 9 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ 4 ∈ ℝ)
5951resqcld 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)↑2) ∈ ℝ)
6059, 52resubcld 8337 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
6160adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
6251adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6352, 59posdifd 8488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2) ↔ 0 < (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴)))
6463biimpa 296 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ 0 < (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴))
6550rpgt0d 9698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘˜))
6665adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘˜))
6761, 62, 64, 66divgt0d 8891 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ 0 < ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) / (πΉβ€˜π‘˜)))
6851recnd 7985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6968sqcld 10651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)↑2) ∈ β„‚)
7069adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)↑2) ∈ β„‚)
7125adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7271adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7368adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7450rpap0d 9701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) # 0)
7574adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) # 0)
7670, 72, 73, 75divsubdirapd 8786 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) / (πΉβ€˜π‘˜)) = ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) / (πΉβ€˜π‘˜)) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))
7773sqvald 10650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)↑2) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
7877oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) / (πΉβ€˜π‘˜)) = (((πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) / (πΉβ€˜π‘˜)))
7973, 73, 75divcanap3d 8751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) / (πΉβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
8078, 79eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) / (πΉβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
8180oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) / (πΉβ€˜π‘˜)) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))
8276, 81eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) / (πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))
8367, 82breqtrd 4029 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))
8455, 83gt0ap0d 8585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))) # 0)
8555, 84sqgt0apd 10681 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ 0 < (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2))
86 4pos 9015 . . . . . . . . . 10 0 < 4
8786a1i 9 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ 0 < 4)
8856, 58, 85, 87divgt0d 8891 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ 0 < ((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / 4))
8957, 86gt0ap0ii 8584 . . . . . . . . . . 11 4 # 0
9089a1i 9 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ 4 # 0)
9156, 58, 90redivclapd 8791 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / 4) ∈ ℝ)
9252adantr 276 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9391, 92ltaddpos2d 8486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ (0 < ((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / 4) ↔ 𝐴 < (((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / 4) + 𝐴)))
9488, 93mpbid 147 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ 𝐴 < (((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / 4) + 𝐴))
9539, 17, 27resqrexlemfp1 11017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))) / 2))
9695oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))) / 2)↑2))
9751, 53readdcld 7986 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
9897recnd 7985 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
99 2cnd 8991 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„‚)
100 2ap0 9011 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 # 0
101100a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 2 # 0)
10298, 99, 101sqdivapd 10666 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))) / 2)↑2) = ((((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / (2↑2)))
10396, 102eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / (2↑2)))
104 sq2 10615 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑2) = 4
105104oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . 12 ((((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / (2↑2)) = ((((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / 4)
106103, 105eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / 4))
10771, 68, 74divcanap2d 8748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))) = 𝐴)
108107oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 Β· ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))) = (2 Β· 𝐴))
109108oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))) = (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· 𝐴)))
110109oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)) = ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· 𝐴)) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)))
111110oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)) + (4 Β· 𝐴)) = (((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· 𝐴)) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)) + (4 Β· 𝐴)))
11253recnd 7985 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
113 binom2sub 10633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)))
11468, 112, 113syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)))
115114oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) + (4 Β· 𝐴)) = (((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)) + (4 Β· 𝐴)))
116 binom2 10631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) + (2 Β· ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)))
11768, 112, 116syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) + (2 Β· ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)))
118108oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) + (2 Β· ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))) = (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) + (2 Β· 𝐴)))
119118oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) + (2 Β· ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)) = ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) + (2 Β· 𝐴)) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)))
120117, 119eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) + (2 Β· 𝐴)) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)))
12199, 71mulcld 7977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
122121negcld 8254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ -(2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
123 4cn 8996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ β„‚
124123a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 4 ∈ β„‚)
125124, 71mulcld 7977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (4 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
12669, 122, 125addassd 7979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) + -(2 Β· 𝐴)) + (4 Β· 𝐴)) = (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) + (-(2 Β· 𝐴) + (4 Β· 𝐴))))
12769, 121negsubd 8273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) + -(2 Β· 𝐴)) = (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· 𝐴)))
128127oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) + -(2 Β· 𝐴)) + (4 Β· 𝐴)) = ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· 𝐴)) + (4 Β· 𝐴)))
129 2cn 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ β„‚
130129negcli 8224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -2 ∈ β„‚
131130a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ -2 ∈ β„‚)
132131, 124, 71adddird 7982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((-2 + 4) Β· 𝐴) = ((-2 Β· 𝐴) + (4 Β· 𝐴)))
13399, 71mulneg1d 8367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (-2 Β· 𝐴) = -(2 Β· 𝐴))
134133oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((-2 Β· 𝐴) + (4 Β· 𝐴)) = (-(2 Β· 𝐴) + (4 Β· 𝐴)))
135132, 134eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((-2 + 4) Β· 𝐴) = (-(2 Β· 𝐴) + (4 Β· 𝐴)))
136130, 129, 129addassi 7964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-2 + 2) + 2) = (-2 + (2 + 2))
137129subidi 8227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 βˆ’ 2) = 0
138137negeqi 8150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -(2 βˆ’ 2) = -0
139129, 129negsubdii 8241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -(2 βˆ’ 2) = (-2 + 2)
140 neg0 8202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -0 = 0
141138, 139, 1403eqtr3i 2206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-2 + 2) = 0
142141oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-2 + 2) + 2) = (0 + 2)
143129addid2i 8099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 + 2) = 2
144142, 143eqtri 2198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-2 + 2) + 2) = 2
145 2p2e4 9045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 + 2) = 4
146145oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-2 + (2 + 2)) = (-2 + 4)
147136, 144, 1463eqtr3ri 2207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-2 + 4) = 2
148147oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-2 + 4) Β· 𝐴) = (2 Β· 𝐴)
149135, 148eqtr3di 2225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (-(2 Β· 𝐴) + (4 Β· 𝐴)) = (2 Β· 𝐴))
150149oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) + (-(2 Β· 𝐴) + (4 Β· 𝐴))) = (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) + (2 Β· 𝐴)))
151126, 128, 1503eqtr3rd 2219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) + (2 Β· 𝐴)) = ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· 𝐴)) + (4 Β· 𝐴)))
152151oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) + (2 Β· 𝐴)) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)) = (((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· 𝐴)) + (4 Β· 𝐴)) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)))
15319a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 2 ∈ ℝ)
154153, 52remulcld 7987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ)
15559, 154resubcld 8337 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· 𝐴)) ∈ ℝ)
15657a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 4 ∈ ℝ)
157156, 52remulcld 7987 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (4 Β· 𝐴) ∈ ℝ)
15853resqcld 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
159 recn 7943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ ℝ β†’ 𝑓 ∈ β„‚)
160 recn 7943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ ℝ β†’ 𝑔 ∈ β„‚)
161 addcom 8093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ β„‚ ∧ 𝑔 ∈ β„‚) β†’ (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
162159, 160, 161syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) β†’ (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
163162adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) β†’ (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
164 recn 7943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž ∈ ℝ β†’ β„Ž ∈ β„‚)
165 addass 7940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ β„‚ ∧ 𝑔 ∈ β„‚ ∧ β„Ž ∈ β„‚) β†’ ((𝑓 + 𝑔) + β„Ž) = (𝑓 + (𝑔 + β„Ž)))
166159, 160, 164, 165syl3an 1280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ β„Ž ∈ ℝ) β†’ ((𝑓 + 𝑔) + β„Ž) = (𝑓 + (𝑔 + β„Ž)))
167166adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ β„Ž ∈ ℝ)) β†’ ((𝑓 + 𝑔) + β„Ž) = (𝑓 + (𝑔 + β„Ž)))
168155, 157, 158, 163, 167caov32d 6054 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· 𝐴)) + (4 Β· 𝐴)) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)) = (((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· 𝐴)) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)) + (4 Β· 𝐴)))
169120, 152, 1683eqtrd 2214 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) = (((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ (2 Β· 𝐴)) + ((𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))↑2)) + (4 Β· 𝐴)))
170111, 115, 1693eqtr4rd 2221 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) + (4 Β· 𝐴)))
171170oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / 4) = (((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) + (4 Β· 𝐴)) / 4))
172106, 171eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) = (((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) + (4 Β· 𝐴)) / 4))
17368, 112subcld 8267 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
174173sqcld 10651 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) ∈ β„‚)
17589a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 4 # 0)
176174, 125, 124, 175divdirapd 8785 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) + (4 Β· 𝐴)) / 4) = (((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / 4) + ((4 Β· 𝐴) / 4)))
17771, 124, 175divcanap3d 8751 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((4 Β· 𝐴) / 4) = 𝐴)
178177oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / 4) + ((4 Β· 𝐴) / 4)) = (((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / 4) + 𝐴))
179172, 176, 1783eqtrd 2214 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) = (((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / 4) + 𝐴))
180179breq2d 4015 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐴 < ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) ↔ 𝐴 < (((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / 4) + 𝐴)))
181180adantr 276 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ (𝐴 < ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) ↔ 𝐴 < (((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))↑2) / 4) + 𝐴)))
18294, 181mpbird 167 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2))
183182ex 115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2) β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2)))
184183expcom 116 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2) β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2))))
185184a2d 26 . . 3 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2))))
1864, 8, 12, 16, 48, 185nnind 8934 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘)↑2)))
187186impcom 125 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘)↑2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {csn 3592   class class class wbr 4003   Γ— cxp 4624  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874   ∈ cmpo 5876  β„‚cc 7808  β„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   Β· cmul 7815   < clt 7991   ≀ cle 7992   βˆ’ cmin 8127  -cneg 8128   # cap 8537   / cdiv 8628  β„•cn 8918  2c2 8969  4c4 8971  β„+crp 9652  seqcseq 10444  β†‘cexp 10518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-seqfrec 10445  df-exp 10519
This theorem is referenced by:  resqrexlemdec  11019  resqrexlemcalc2  11023  resqrexlemnmsq  11025  resqrexlemga  11031
  Copyright terms: Public domain W3C validator