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Theorem resqrexlemover 10339
Description: Lemma for resqrex 10355. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemover ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemover
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5268 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → (𝐹𝑤) = (𝐹‘1))
21oveq1d 5628 . . . . 5 (𝑤 = 1 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
32breq2d 3832 . . . 4 (𝑤 = 1 → (𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘1)↑2)))
43imbi2d 228 . . 3 (𝑤 = 1 → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2)) ↔ (𝜑𝐴 < ((𝐹‘1)↑2))))
5 fveq2 5268 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
65oveq1d 5628 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
76breq2d 3832 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)))
87imbi2d 228 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2)) ↔ (𝜑𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2))))
9 fveq2 5268 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
109oveq1d 5628 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
1110breq2d 3832 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2)))
1211imbi2d 228 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2)) ↔ (𝜑𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
13 fveq2 5268 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑁))
1413oveq1d 5628 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹𝑁)↑2))
1514breq2d 3832 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → (𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2)))
1615imbi2d 228 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2)) ↔ (𝜑𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))))
17 resqrexlemex.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1817resqcld 10009 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19 2re 8427 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2019a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
2120, 17remulcld 7462 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
2218, 21readdcld 7461 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
23 1red 7447 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 7461 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
2517recnd 7460 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2625mulid2d 7450 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
27 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
28 1le2 8557 . . . . . . . . 9 1 ≤ 2
29 lemul1a 8254 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 1 ≤ 2) → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
3028, 29mpan2 416 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
3123, 20, 17, 27, 30syl112anc 1176 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
3226, 31eqbrtrrd 3842 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≤ (2 · 𝐴))
3317sqge0d 10010 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))
3421, 18addge02d 7952 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ (𝐴↑2) ↔ (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴))))
3533, 34mpbid 145 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)))
3617, 21, 22, 32, 35letrd 7551 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)))
3722ltp1d 8326 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) < (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
3817, 22, 24, 36, 37lelttrd 7552 . . . 4 (𝜑𝐴 < (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
39 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
4039, 17, 27resqrexlemf1 10337 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) = (1 + 𝐴))
41 1cnd 7448 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4241, 25addcomd 7577 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
4340, 42eqtrd 2117 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐴 + 1))
4443oveq1d 5628 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) = ((𝐴 + 1)↑2))
45 binom21 9964 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
4625, 45syl 14 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
4744, 46eqtrd 2117 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
4838, 47breqtrrd 3846 . . 3 (𝜑𝐴 < ((𝐹‘1)↑2))
4939, 17, 27resqrexlemf 10336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5049ffvelrnda 5397 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5150rpred 9105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5217adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5352, 50rerpdivcld 9137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5451, 53resubcld 7803 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
5554adantr 270 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
5655resqcld 10009 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) ∈ ℝ)
57 4re 8434 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
5857a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 4 ∈ ℝ)
5951resqcld 10009 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ)
6059, 52resubcld 7803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
6160adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
6251adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6352, 59posdifd 7950 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2) ↔ 0 < (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴)))
6463biimpa 290 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴))
6550rpgt0d 9108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐹𝑘))
6665adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < (𝐹𝑘))
6761, 62, 64, 66divgt0d 8331 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹𝑘)))
6851recnd 7460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6968sqcld 9981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℂ)
7069adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℂ)
7125adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7271adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7368adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7450rpap0d 9111 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) # 0)
7574adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝐹𝑘) # 0)
7670, 72, 73, 75divsubdirapd 8234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹𝑘)) = ((((𝐹𝑘)↑2) / (𝐹𝑘)) − (𝐴 / (𝐹𝑘))))
7773sqvald 9980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((𝐹𝑘)↑2) = ((𝐹𝑘) · (𝐹𝑘)))
7877oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘)↑2) / (𝐹𝑘)) = (((𝐹𝑘) · (𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
7973, 73, 75divcanap3d 8200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘) · (𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
8078, 79eqtrd 2117 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘)↑2) / (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
8180oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((((𝐹𝑘)↑2) / (𝐹𝑘)) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) = ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))))
8276, 81eqtrd 2117 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))))
8367, 82breqtrd 3844 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))))
8455, 83gt0ap0d 8046 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) # 0)
8555, 84sqgt0apd 10011 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2))
86 4pos 8454 . . . . . . . . . 10 0 < 4
8786a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < 4)
8856, 58, 85, 87divgt0d 8331 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4))
8957, 86gt0ap0ii 8045 . . . . . . . . . . 11 4 # 0
9089a1i 9 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 4 # 0)
9156, 58, 90redivclapd 8238 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) ∈ ℝ)
9252adantr 270 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9391, 92ltaddpos2d 7948 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (0 < ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) ↔ 𝐴 < (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
9488, 93mpbid 145 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 𝐴 < (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
9539, 17, 27resqrexlemfp1 10338 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2))
9695oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2)↑2))
9751, 53readdcld 7461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
9897recnd 7460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℂ)
99 2cnd 8430 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
100 2ap0 8450 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 # 0
101100a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 2 # 0)
10298, 99, 101sqdivapd 9996 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2)↑2) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / (2↑2)))
10396, 102eqtrd 2117 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / (2↑2)))
104 sq2 9949 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑2) = 4
105104oveq2i 5624 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / (2↑2)) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4)
106103, 105syl6eq 2133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4))
10771, 68, 74divcanap2d 8197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))) = 𝐴)
108107oveq2d 5629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘)))) = (2 · 𝐴))
109108oveq2d 5629 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) = (((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)))
110109oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
111110oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
11253recnd 7460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
113 binom2sub 9965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
11468, 112, 113syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
115114oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
116 binom2 9963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
11768, 112, 116syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
118108oveq2d 5629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) = (((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)))
119118oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) = ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
120117, 119eqtrd 2117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
12199, 71mulcld 7452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
122121negcld 7724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -(2 · 𝐴) ∈ ℂ)
123 4cn 8435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ ℂ
124123a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
125124, 71mulcld 7452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
12669, 122, 125addassd 7454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) = (((𝐹𝑘)↑2) + (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴))))
12769, 121negsubd 7743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) = (((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)))
128127oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)))
129 2cn 8428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℂ
130129negcli 7694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -2 ∈ ℂ
131130, 129, 129addassi 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-2 + 2) + 2) = (-2 + (2 + 2))
132129subidi 7697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 − 2) = 0
133132negeqi 7620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -(2 − 2) = -0
134129, 129negsubdii 7711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -(2 − 2) = (-2 + 2)
135 neg0 7672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -0 = 0
136133, 134, 1353eqtr3i 2113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-2 + 2) = 0
137136oveq1i 5623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-2 + 2) + 2) = (0 + 2)
138129addid2i 7569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 + 2) = 2
139137, 138eqtri 2105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-2 + 2) + 2) = 2
140 2p2e4 8477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 + 2) = 4
141140oveq2i 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-2 + (2 + 2)) = (-2 + 4)
142131, 139, 1413eqtr3ri 2114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-2 + 4) = 2
143142oveq1i 5623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-2 + 4) · 𝐴) = (2 · 𝐴)
144130a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -2 ∈ ℂ)
145144, 124, 71adddird 7457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 + 4) · 𝐴) = ((-2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
14699, 71mulneg1d 7833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · 𝐴) = -(2 · 𝐴))
147146oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)) = (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
148145, 147eqtrd 2117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 + 4) · 𝐴) = (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
149143, 148syl5reqr 2132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)) = (2 · 𝐴))
150149oveq2d 5629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) + (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴))) = (((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)))
151126, 128, 1503eqtr3rd 2126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)))
152151oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
15319a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
154153, 52remulcld 7462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
15559, 154resubcld 7803 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
15657a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
157156, 52remulcld 7462 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ)
15853resqcld 10009 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2) ∈ ℝ)
159 recn 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ ℝ → 𝑓 ∈ ℂ)
160 recn 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ ℝ → 𝑔 ∈ ℂ)
161 addcom 7563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
162159, 160, 161syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
163162adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
164 recn 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ ℝ → ∈ ℂ)
165 addass 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ ∧ ∈ ℂ) → ((𝑓 + 𝑔) + ) = (𝑓 + (𝑔 + )))
166159, 160, 164, 165syl3an 1214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ ∈ ℝ) → ((𝑓 + 𝑔) + ) = (𝑓 + (𝑔 + )))
167166adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ ∈ ℝ)) → ((𝑓 + 𝑔) + ) = (𝑓 + (𝑔 + )))
168155, 157, 158, 163, 167caov32d 5782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
169120, 152, 1683eqtrd 2121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
170111, 115, 1693eqtr4rd 2128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)))
171170oveq1d 5628 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4))
172106, 171eqtrd 2117 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4))
17368, 112subcld 7737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℂ)
174173sqcld 9981 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) ∈ ℂ)
17589a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 # 0)
176174, 125, 124, 175divdirapd 8233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + ((4 · 𝐴) / 4)))
17771, 124, 175divcanap3d 8200 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((4 · 𝐴) / 4) = 𝐴)
178177oveq2d 5629 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + ((4 · 𝐴) / 4)) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
179172, 176, 1783eqtrd 2121 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
180179breq2d 3832 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ↔ 𝐴 < (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
181180adantr 270 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ↔ 𝐴 < (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
18294, 181mpbird 165 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
183182ex 113 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2)))
184183expcom 114 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
185184a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝜑𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
1864, 8, 12, 16, 48, 185nnind 8373 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2)))
187186impcom 123 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  {csn 3431   class class class wbr 3820   × cxp 4409  cfv 4981  (class class class)co 5613  cmpt2 5615  cc 7292  cr 7293  0cc0 7294  1c1 7295   + caddc 7297   · cmul 7299   < clt 7466  cle 7467  cmin 7597  -cneg 7598   # cap 7999   / cdiv 8078  cn 8357  2c2 8407  4c4 8409  +crp 9066  seqcseq 9779  cexp 9853
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-3 8417  df-4 8418  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-rp 9067  df-iseq 9780  df-iexp 9854
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