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Theorem resqrexlemover 10622
Description: Lemma for resqrex 10638. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemover ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemover
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5353 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → (𝐹𝑤) = (𝐹‘1))
21oveq1d 5721 . . . . 5 (𝑤 = 1 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
32breq2d 3887 . . . 4 (𝑤 = 1 → (𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘1)↑2)))
43imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 1 → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2)) ↔ (𝜑𝐴 < ((𝐹‘1)↑2))))
5 fveq2 5353 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
65oveq1d 5721 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
76breq2d 3887 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)))
87imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2)) ↔ (𝜑𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2))))
9 fveq2 5353 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
109oveq1d 5721 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
1110breq2d 3887 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2)))
1211imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2)) ↔ (𝜑𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
13 fveq2 5353 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑁))
1413oveq1d 5721 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹𝑁)↑2))
1514breq2d 3887 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → (𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2)))
1615imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2)) ↔ (𝜑𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))))
17 resqrexlemex.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1817resqcld 10291 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19 2re 8648 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2019a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
2120, 17remulcld 7668 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
2218, 21readdcld 7667 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
23 1red 7653 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 7667 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
2517recnd 7666 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2625mulid2d 7656 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
27 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
28 1le2 8780 . . . . . . . . 9 1 ≤ 2
29 lemul1a 8474 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 1 ≤ 2) → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
3028, 29mpan2 419 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
3123, 20, 17, 27, 30syl112anc 1188 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
3226, 31eqbrtrrd 3897 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≤ (2 · 𝐴))
3317sqge0d 10292 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))
3421, 18addge02d 8162 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ (𝐴↑2) ↔ (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴))))
3533, 34mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)))
3617, 21, 22, 32, 35letrd 7757 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)))
3722ltp1d 8546 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) < (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
3817, 22, 24, 36, 37lelttrd 7758 . . . 4 (𝜑𝐴 < (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
39 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
4039, 17, 27resqrexlemf1 10620 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) = (1 + 𝐴))
41 1cnd 7654 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4241, 25addcomd 7784 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
4340, 42eqtrd 2132 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐴 + 1))
4443oveq1d 5721 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) = ((𝐴 + 1)↑2))
45 binom21 10245 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
4625, 45syl 14 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
4744, 46eqtrd 2132 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
4838, 47breqtrrd 3901 . . 3 (𝜑𝐴 < ((𝐹‘1)↑2))
4939, 17, 27resqrexlemf 10619 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5049ffvelrnda 5487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5150rpred 9330 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5217adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5352, 50rerpdivcld 9362 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5451, 53resubcld 8010 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
5554adantr 272 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
5655resqcld 10291 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) ∈ ℝ)
57 4re 8655 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
5857a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 4 ∈ ℝ)
5951resqcld 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ)
6059, 52resubcld 8010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
6160adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
6251adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6352, 59posdifd 8160 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2) ↔ 0 < (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴)))
6463biimpa 292 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴))
6550rpgt0d 9333 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐹𝑘))
6665adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < (𝐹𝑘))
6761, 62, 64, 66divgt0d 8551 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹𝑘)))
6851recnd 7666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6968sqcld 10263 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℂ)
7069adantr 272 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℂ)
7125adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7271adantr 272 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7368adantr 272 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7450rpap0d 9336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) # 0)
7574adantr 272 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝐹𝑘) # 0)
7670, 72, 73, 75divsubdirapd 8451 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹𝑘)) = ((((𝐹𝑘)↑2) / (𝐹𝑘)) − (𝐴 / (𝐹𝑘))))
7773sqvald 10262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((𝐹𝑘)↑2) = ((𝐹𝑘) · (𝐹𝑘)))
7877oveq1d 5721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘)↑2) / (𝐹𝑘)) = (((𝐹𝑘) · (𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
7973, 73, 75divcanap3d 8416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘) · (𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
8078, 79eqtrd 2132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘)↑2) / (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
8180oveq1d 5721 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((((𝐹𝑘)↑2) / (𝐹𝑘)) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) = ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))))
8276, 81eqtrd 2132 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))))
8367, 82breqtrd 3899 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))))
8455, 83gt0ap0d 8257 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) # 0)
8555, 84sqgt0apd 10293 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2))
86 4pos 8675 . . . . . . . . . 10 0 < 4
8786a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < 4)
8856, 58, 85, 87divgt0d 8551 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4))
8957, 86gt0ap0ii 8256 . . . . . . . . . . 11 4 # 0
9089a1i 9 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 4 # 0)
9156, 58, 90redivclapd 8455 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) ∈ ℝ)
9252adantr 272 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9391, 92ltaddpos2d 8158 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (0 < ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) ↔ 𝐴 < (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
9488, 93mpbid 146 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 𝐴 < (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
9539, 17, 27resqrexlemfp1 10621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2))
9695oveq1d 5721 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2)↑2))
9751, 53readdcld 7667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
9897recnd 7666 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℂ)
99 2cnd 8651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
100 2ap0 8671 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 # 0
101100a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 2 # 0)
10298, 99, 101sqdivapd 10278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2)↑2) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / (2↑2)))
10396, 102eqtrd 2132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / (2↑2)))
104 sq2 10229 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑2) = 4
105104oveq2i 5717 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / (2↑2)) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4)
106103, 105syl6eq 2148 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4))
10771, 68, 74divcanap2d 8413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))) = 𝐴)
108107oveq2d 5722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘)))) = (2 · 𝐴))
109108oveq2d 5722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) = (((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)))
110109oveq1d 5721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
111110oveq1d 5721 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
11253recnd 7666 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
113 binom2sub 10246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
11468, 112, 113syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
115114oveq1d 5721 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
116 binom2 10244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
11768, 112, 116syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
118108oveq2d 5722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) = (((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)))
119118oveq1d 5721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) = ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
120117, 119eqtrd 2132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
12199, 71mulcld 7658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
122121negcld 7931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -(2 · 𝐴) ∈ ℂ)
123 4cn 8656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ ℂ
124123a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
125124, 71mulcld 7658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
12669, 122, 125addassd 7660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) = (((𝐹𝑘)↑2) + (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴))))
12769, 121negsubd 7950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) = (((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)))
128127oveq1d 5721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)))
129 2cn 8649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℂ
130129negcli 7901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -2 ∈ ℂ
131130, 129, 129addassi 7646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-2 + 2) + 2) = (-2 + (2 + 2))
132129subidi 7904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 − 2) = 0
133132negeqi 7827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -(2 − 2) = -0
134129, 129negsubdii 7918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -(2 − 2) = (-2 + 2)
135 neg0 7879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -0 = 0
136133, 134, 1353eqtr3i 2128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-2 + 2) = 0
137136oveq1i 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-2 + 2) + 2) = (0 + 2)
138129addid2i 7776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 + 2) = 2
139137, 138eqtri 2120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-2 + 2) + 2) = 2
140 2p2e4 8699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 + 2) = 4
141140oveq2i 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-2 + (2 + 2)) = (-2 + 4)
142131, 139, 1413eqtr3ri 2129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-2 + 4) = 2
143142oveq1i 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-2 + 4) · 𝐴) = (2 · 𝐴)
144130a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -2 ∈ ℂ)
145144, 124, 71adddird 7663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 + 4) · 𝐴) = ((-2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
14699, 71mulneg1d 8040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · 𝐴) = -(2 · 𝐴))
147146oveq1d 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)) = (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
148145, 147eqtrd 2132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 + 4) · 𝐴) = (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
149143, 148syl5reqr 2147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)) = (2 · 𝐴))
150149oveq2d 5722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) + (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴))) = (((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)))
151126, 128, 1503eqtr3rd 2141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)))
152151oveq1d 5721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
15319a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
154153, 52remulcld 7668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
15559, 154resubcld 8010 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
15657a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
157156, 52remulcld 7668 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ)
15853resqcld 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2) ∈ ℝ)
159 recn 7625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ ℝ → 𝑓 ∈ ℂ)
160 recn 7625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ ℝ → 𝑔 ∈ ℂ)
161 addcom 7770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
162159, 160, 161syl2an 285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
163162adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
164 recn 7625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ ℝ → ∈ ℂ)
165 addass 7622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ ∧ ∈ ℂ) → ((𝑓 + 𝑔) + ) = (𝑓 + (𝑔 + )))
166159, 160, 164, 165syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ ∈ ℝ) → ((𝑓 + 𝑔) + ) = (𝑓 + (𝑔 + )))
167166adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ ∈ ℝ)) → ((𝑓 + 𝑔) + ) = (𝑓 + (𝑔 + )))
168155, 157, 158, 163, 167caov32d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
169120, 152, 1683eqtrd 2136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
170111, 115, 1693eqtr4rd 2143 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)))
171170oveq1d 5721 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4))
172106, 171eqtrd 2132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4))
17368, 112subcld 7944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℂ)
174173sqcld 10263 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) ∈ ℂ)
17589a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 # 0)
176174, 125, 124, 175divdirapd 8450 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + ((4 · 𝐴) / 4)))
17771, 124, 175divcanap3d 8416 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((4 · 𝐴) / 4) = 𝐴)
178177oveq2d 5722 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + ((4 · 𝐴) / 4)) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
179172, 176, 1783eqtrd 2136 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
180179breq2d 3887 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ↔ 𝐴 < (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
181180adantr 272 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ↔ 𝐴 < (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
18294, 181mpbird 166 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
183182ex 114 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2)))
184183expcom 115 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
185184a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝜑𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
1864, 8, 12, 16, 48, 185nnind 8594 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2)))
187186impcom 124 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 930   = wceq 1299  wcel 1448  {csn 3474   class class class wbr 3875   × cxp 4475  cfv 5059  (class class class)co 5706  cmpo 5708  cc 7498  cr 7499  0cc0 7500  1c1 7501   + caddc 7503   · cmul 7505   < clt 7672  cle 7673  cmin 7804  -cneg 7805   # cap 8209   / cdiv 8293  cn 8578  2c2 8629  4c4 8631  +crp 9291  seqcseq 10059  cexp 10133
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-seqfrec 10060  df-exp 10134
This theorem is referenced by:  resqrexlemdec  10623  resqrexlemcalc2  10627  resqrexlemnmsq  10629  resqrexlemga  10635
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