Theorem resqrexlemover 10339

Description: Lemma for resqrex 10355. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemover	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemover

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5268	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘1))
2	1	oveq1d 5628	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
3	2	breq2d 3832	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘1)↑2)))
4	3	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2)) ↔ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘1)↑2))))
5		fveq2 5268	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
6	5	oveq1d 5628	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
7	6	breq2d 3832	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)))
8	7	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2)) ↔ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2))))
9		fveq2 5268	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
10	9	oveq1d 5628	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
11	10	breq2d 3832	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2)))
12	11	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2)) ↔ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
13		fveq2 5268	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑁))
14	13	oveq1d 5628	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘𝑁)↑2))
15	14	breq2d 3832	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2)))
16	15	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2)) ↔ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2))))
17		resqrexlemex.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	resqcld 10009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19		2re 8427	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
21	20, 17	remulcld 7462	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
22	18, 21	readdcld 7461	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
23		1red 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
24	22, 23	readdcld 7461	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
25	17	recnd 7460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	mulid2d 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
28		1le2 8557	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
29		lemul1a 8254	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 1 ≤ 2) → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
30	28, 29	mpan2 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1176	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
32	26, 31	eqbrtrrd 3842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (2 · 𝐴))
33	17	sqge0d 10010	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))
34	21, 18	addge02d 7952	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴↑2) ↔ (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴))))
35	33, 34	mpbid 145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)))
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 7551	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)))
37	22	ltp1d 8326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) < (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 7552	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 10337	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (1 + 𝐴))
41		1cnd 7448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
42	41, 25	addcomd 7577	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
43	40, 42	eqtrd 2117	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐴 + 1))
44	43	oveq1d 5628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) = ((𝐴 + 1)↑2))
45		binom21 9964	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
46	25, 45	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
47	44, 46	eqtrd 2117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
48	38, 47	breqtrrd 3846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘1)↑2))
49	39, 17, 27	resqrexlemf 10336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
50	49	ffvelrnda 5397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
51	50	rpred 9105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
52	17	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	52, 50	rerpdivcld 9137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
54	51, 53	resubcld 7803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
55	54	adantr 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
56	55	resqcld 10009	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) ∈ ℝ)
57		4re 8434	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 4 ∈ ℝ)
59	51	resqcld 10009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ)
60	59, 52	resubcld 7803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
61	60	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
62	51	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
63	52, 59	posdifd 7950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴)))
64	63	biimpa 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴))
65	50	rpgt0d 9108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐹‘𝑘))
66	65	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < (𝐹‘𝑘))
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 8331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹‘𝑘)))
68	51	recnd 7460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
69	68	sqcld 9981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℂ)
70	69	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℂ)
71	25	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
72	71	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
73	68	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
74	50	rpap0d 9111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) # 0)
75	74	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (𝐹‘𝑘) # 0)
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 8234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹‘𝑘)) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) / (𝐹‘𝑘)) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
77	73	sqvald 9980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((𝐹‘𝑘)↑2) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
78	77	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) / (𝐹‘𝑘)) = (((𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)) / (𝐹‘𝑘)))
79	73, 73, 75	divcanap3d 8200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (((𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)) / (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
80	78, 79	eqtrd 2117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) / (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
81	80	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) / (𝐹‘𝑘)) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
82	76, 81	eqtrd 2117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
83	67, 82	breqtrd 3844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
84	55, 83	gt0ap0d 8046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) # 0)
85	55, 84	sqgt0apd 10011	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < (((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2))
86		4pos 8454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < 4)
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 8331	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < ((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4))
89	57, 86	gt0ap0ii 8045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 # 0
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 4 # 0)
91	56, 58, 90	redivclapd 8238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) ∈ ℝ)
92	52	adantr 270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
93	91, 92	ltaddpos2d 7948	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (0 < ((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) ↔ 𝐴 < (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
94	88, 93	mpbid 145	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 𝐴 < (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 10338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2))
96	95	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2)↑2))
97	51, 53	readdcld 7461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
98	97	recnd 7460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℂ)
99		2cnd 8430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
100		2ap0 8450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 # 0
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 # 0)
102	98, 99, 101	sqdivapd 9996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2)↑2) = ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / (2↑2)))
103	96, 102	eqtrd 2117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / (2↑2)))
104		sq2 9949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑2) = 4
105	104	oveq2i 5624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / (2↑2)) = ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4)
106	103, 105	syl6eq 2133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4))
107	71, 68, 74	divcanap2d 8197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) = 𝐴)
108	107	oveq2d 5629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))) = (2 · 𝐴))
109	108	oveq2d 5629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) = (((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)))
110	109	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
111	110	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
112	53	recnd 7460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
113		binom2sub 9965	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
114	68, 112, 113	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
115	114	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
116		binom2 9963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
117	68, 112, 116	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
118	108	oveq2d 5629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) = (((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)))
119	118	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
120	117, 119	eqtrd 2117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
121	99, 71	mulcld 7452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
122	121	negcld 7724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(2 · 𝐴) ∈ ℂ)
123		4cn 8435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 ∈ ℂ
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
125	124, 71	mulcld 7452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
126	69, 122, 125	addassd 7454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑘)↑2) + (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴))))
127	69, 121	negsubd 7743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)))
128	127	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)))
129		2cn 8428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℂ
130	129	negcli 7694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ -2 ∈ ℂ
131	130, 129, 129	addassi 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-2 + 2) + 2) = (-2 + (2 + 2))
132	129	subidi 7697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 − 2) = 0
133	132	negeqi 7620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -(2 − 2) = -0
134	129, 129	negsubdii 7711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -(2 − 2) = (-2 + 2)
135		neg0 7672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -0 = 0
136	133, 134, 135	3eqtr3i 2113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (-2 + 2) = 0
137	136	oveq1i 5623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((-2 + 2) + 2) = (0 + 2)
138	129	addid2i 7569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 + 2) = 2
139	137, 138	eqtri 2105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-2 + 2) + 2) = 2
140		2p2e4 8477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 + 2) = 4
141	140	oveq2i 5624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-2 + (2 + 2)) = (-2 + 4)
142	131, 139, 141	3eqtr3ri 2114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-2 + 4) = 2
143	142	oveq1i 5623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-2 + 4) · 𝐴) = (2 · 𝐴)
144	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -2 ∈ ℂ)
145	144, 124, 71	adddird 7457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 + 4) · 𝐴) = ((-2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
146	99, 71	mulneg1d 7833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · 𝐴) = -(2 · 𝐴))
147	146	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)) = (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
148	145, 147	eqtrd 2117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 + 4) · 𝐴) = (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
149	143, 148	syl5reqr 2132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)) = (2 · 𝐴))
150	149	oveq2d 5629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) + (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴))) = (((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)))
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)))
152	151	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) = (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
154	153, 52	remulcld 7462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
155	59, 154	resubcld 7803	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
157	156, 52	remulcld 7462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ)
158	53	resqcld 10009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
159		recn 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 ∈ ℝ → 𝑓 ∈ ℂ)
160		recn 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 ∈ ℝ → 𝑔 ∈ ℂ)
161		addcom 7563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
162	159, 160, 161	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
163	162	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
164		recn 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ ℝ → ℎ ∈ ℂ)
165		addass 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ ∧ ℎ ∈ ℂ) → ((𝑓 + 𝑔) + ℎ) = (𝑓 + (𝑔 + ℎ)))
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ ℎ ∈ ℝ) → ((𝑓 + 𝑔) + ℎ) = (𝑓 + (𝑔 + ℎ)))
167	166	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ ℎ ∈ ℝ)) → ((𝑓 + 𝑔) + ℎ) = (𝑓 + (𝑔 + ℎ)))
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 5782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) = (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
169	120, 152, 168	3eqtrd 2121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)))
171	170	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) = (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4))
172	106, 171	eqtrd 2117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4))
173	68, 112	subcld 7737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℂ)
174	173	sqcld 9981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) ∈ ℂ)
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 4 # 0)
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 8233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4) = (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + ((4 · 𝐴) / 4)))
177	71, 124, 175	divcanap3d 8200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((4 · 𝐴) / 4) = 𝐴)
178	177	oveq2d 5629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + ((4 · 𝐴) / 4)) = (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
179	172, 176, 178	3eqtrd 2121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
180	179	breq2d 3832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ↔ 𝐴 < (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
181	180	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ↔ 𝐴 < (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
182	94, 181	mpbird 165	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
183	182	ex 113	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2)))
184	183	expcom 114	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
185	184	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 8373	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2)))
187	186	impcom 123	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 922   = wceq 1287   ∈ wcel 1436  {csn 3431   class class class wbr 3820   × cxp 4409  ‘cfv 4981  (class class class)co 5613   ↦ cmpt2 5615  ℂcc 7292  ℝcr 7293  0cc0 7294  1c1 7295   + caddc 7297   · cmul 7299   < clt 7466   ≤ cle 7467   − cmin 7597  -cneg 7598   # cap 7999   / cdiv 8078  ℕcn 8357  2c2 8407  4c4 8409  ℝ⁺crp 9066  seqcseq 9779  ↑cexp 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-3 8417  df-4 8418  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-rp 9067  df-iseq 9780  df-iexp 9854

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