Theorem resqrexlemover 11194

Description: Lemma for resqrex 11210. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemover	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemover

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5561	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘1))
2	1	oveq1d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
3	2	breq2d 4046	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘1)↑2)))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2)) ↔ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘1)↑2))))
5		fveq2 5561	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
6	5	oveq1d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
7	6	breq2d 4046	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)))
8	7	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2)) ↔ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2))))
9		fveq2 5561	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
10	9	oveq1d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
11	10	breq2d 4046	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2)))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2)) ↔ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
13		fveq2 5561	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑁))
14	13	oveq1d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘𝑁)↑2))
15	14	breq2d 4046	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2)))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2)) ↔ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2))))
17		resqrexlemex.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	resqcld 10810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19		2re 9079	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
21	20, 17	remulcld 8076	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
22	18, 21	readdcld 8075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
23		1red 8060	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
24	22, 23	readdcld 8075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
25	17	recnd 8074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	mulid2d 8064	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
28		1le2 9218	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
29		lemul1a 8904	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 1 ≤ 2) → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
30	28, 29	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1253	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
32	26, 31	eqbrtrrd 4058	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (2 · 𝐴))
33	17	sqge0d 10811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))
34	21, 18	addge02d 8580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴↑2) ↔ (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴))))
35	33, 34	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)))
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 8169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)))
37	22	ltp1d 8976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) < (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 8170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 11192	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (1 + 𝐴))
41		1cnd 8061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
42	41, 25	addcomd 8196	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
43	40, 42	eqtrd 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐴 + 1))
44	43	oveq1d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) = ((𝐴 + 1)↑2))
45		binom21 10763	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
46	25, 45	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
47	44, 46	eqtrd 2229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
48	38, 47	breqtrrd 4062	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘1)↑2))
49	39, 17, 27	resqrexlemf 11191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
50	49	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
51	50	rpred 9790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
52	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	52, 50	rerpdivcld 9822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
54	51, 53	resubcld 8426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
56	55	resqcld 10810	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) ∈ ℝ)
57		4re 9086	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 4 ∈ ℝ)
59	51	resqcld 10810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ)
60	59, 52	resubcld 8426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
62	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
63	52, 59	posdifd 8578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴)))
64	63	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴))
65	50	rpgt0d 9793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐹‘𝑘))
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < (𝐹‘𝑘))
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 8981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹‘𝑘)))
68	51	recnd 8074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
69	68	sqcld 10782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℂ)
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℂ)
71	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
73	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
74	50	rpap0d 9796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) # 0)
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (𝐹‘𝑘) # 0)
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 8876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹‘𝑘)) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) / (𝐹‘𝑘)) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
77	73	sqvald 10781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((𝐹‘𝑘)↑2) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
78	77	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) / (𝐹‘𝑘)) = (((𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)) / (𝐹‘𝑘)))
79	73, 73, 75	divcanap3d 8841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (((𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)) / (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
80	78, 79	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) / (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
81	80	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) / (𝐹‘𝑘)) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
82	76, 81	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
83	67, 82	breqtrd 4060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
84	55, 83	gt0ap0d 8675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) # 0)
85	55, 84	sqgt0apd 10812	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < (((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2))
86		4pos 9106	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < 4)
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 8981	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < ((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4))
89	57, 86	gt0ap0ii 8674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 # 0
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 4 # 0)
91	56, 58, 90	redivclapd 8881	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) ∈ ℝ)
92	52	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
93	91, 92	ltaddpos2d 8576	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (0 < ((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) ↔ 𝐴 < (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
94	88, 93	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 𝐴 < (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 11193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2))
96	95	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2)↑2))
97	51, 53	readdcld 8075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
98	97	recnd 8074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℂ)
99		2cnd 9082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
100		2ap0 9102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 # 0
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 # 0)
102	98, 99, 101	sqdivapd 10797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2)↑2) = ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / (2↑2)))
103	96, 102	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / (2↑2)))
104		sq2 10746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑2) = 4
105	104	oveq2i 5936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / (2↑2)) = ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4)
106	103, 105	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4))
107	71, 68, 74	divcanap2d 8838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) = 𝐴)
108	107	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))) = (2 · 𝐴))
109	108	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) = (((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)))
110	109	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
111	110	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
112	53	recnd 8074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
113		binom2sub 10764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
114	68, 112, 113	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
115	114	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
116		binom2 10762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
117	68, 112, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
118	108	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) = (((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)))
119	118	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
120	117, 119	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
121	99, 71	mulcld 8066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
122	121	negcld 8343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(2 · 𝐴) ∈ ℂ)
123		4cn 9087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 ∈ ℂ
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
125	124, 71	mulcld 8066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
126	69, 122, 125	addassd 8068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑘)↑2) + (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴))))
127	69, 121	negsubd 8362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)))
128	127	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)))
129		2cn 9080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℂ
130	129	negcli 8313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ -2 ∈ ℂ
131	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -2 ∈ ℂ)
132	131, 124, 71	adddird 8071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 + 4) · 𝐴) = ((-2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
133	99, 71	mulneg1d 8456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · 𝐴) = -(2 · 𝐴))
134	133	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)) = (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
135	132, 134	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 + 4) · 𝐴) = (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
136	130, 129, 129	addassi 8053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-2 + 2) + 2) = (-2 + (2 + 2))
137	129	subidi 8316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 − 2) = 0
138	137	negeqi 8239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -(2 − 2) = -0
139	129, 129	negsubdii 8330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -(2 − 2) = (-2 + 2)
140		neg0 8291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -0 = 0
141	138, 139, 140	3eqtr3i 2225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (-2 + 2) = 0
142	141	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((-2 + 2) + 2) = (0 + 2)
143	129	addlidi 8188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 + 2) = 2
144	142, 143	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-2 + 2) + 2) = 2
145		2p2e4 9136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 + 2) = 4
146	145	oveq2i 5936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-2 + (2 + 2)) = (-2 + 4)
147	136, 144, 146	3eqtr3ri 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-2 + 4) = 2
148	147	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-2 + 4) · 𝐴) = (2 · 𝐴)
149	135, 148	eqtr3di 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)) = (2 · 𝐴))
150	149	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) + (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴))) = (((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)))
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)))
152	151	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) = (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
154	153, 52	remulcld 8076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
155	59, 154	resubcld 8426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
157	156, 52	remulcld 8076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ)
158	53	resqcld 10810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
159		recn 8031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 ∈ ℝ → 𝑓 ∈ ℂ)
160		recn 8031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 ∈ ℝ → 𝑔 ∈ ℂ)
161		addcom 8182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
162	159, 160, 161	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
163	162	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
164		recn 8031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ ℝ → ℎ ∈ ℂ)
165		addass 8028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ ∧ ℎ ∈ ℂ) → ((𝑓 + 𝑔) + ℎ) = (𝑓 + (𝑔 + ℎ)))
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ ℎ ∈ ℝ) → ((𝑓 + 𝑔) + ℎ) = (𝑓 + (𝑔 + ℎ)))
167	166	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ ℎ ∈ ℝ)) → ((𝑓 + 𝑔) + ℎ) = (𝑓 + (𝑔 + ℎ)))
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 6108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) = (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
169	120, 152, 168	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)))
171	170	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) = (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4))
172	106, 171	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4))
173	68, 112	subcld 8356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℂ)
174	173	sqcld 10782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) ∈ ℂ)
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 4 # 0)
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 8875	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4) = (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + ((4 · 𝐴) / 4)))
177	71, 124, 175	divcanap3d 8841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((4 · 𝐴) / 4) = 𝐴)
178	177	oveq2d 5941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + ((4 · 𝐴) / 4)) = (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
179	172, 176, 178	3eqtrd 2233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
180	179	breq2d 4046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ↔ 𝐴 < (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
181	180	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ↔ 𝐴 < (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
182	94, 181	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
183	182	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2)))
184	183	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
185	184	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 9025	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2)))
187	186	impcom 125	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {csn 3623   class class class wbr 4034   × cxp 4662  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ∈ cmpo 5927  ℂcc 7896  ℝcr 7897  0cc0 7898  1c1 7899   + caddc 7901   · cmul 7903   < clt 8080   ≤ cle 8081   − cmin 8216  -cneg 8217   # cap 8627   / cdiv 8718  ℕcn 9009  2c2 9060  4c4 9062  ℝ⁺crp 9747  seqcseq 10558  ↑cexp 10649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-rp 9748  df-seqfrec 10559  df-exp 10650

This theorem is referenced by:  resqrexlemdec  11195  resqrexlemcalc2  11199  resqrexlemnmsq  11201  resqrexlemga  11207