Theorem resqrexlemover 11046

Description: Lemma for resqrex 11062. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemover	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemover

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5531	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘1))
2	1	oveq1d 5907	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
3	2	breq2d 4030	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘1)↑2)))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2)) ↔ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘1)↑2))))
5		fveq2 5531	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
6	5	oveq1d 5907	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
7	6	breq2d 4030	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)))
8	7	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2)) ↔ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2))))
9		fveq2 5531	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
10	9	oveq1d 5907	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
11	10	breq2d 4030	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2)))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2)) ↔ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
13		fveq2 5531	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑁))
14	13	oveq1d 5907	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘𝑁)↑2))
15	14	breq2d 4030	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2)))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑤)↑2)) ↔ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2))))
17		resqrexlemex.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	resqcld 10706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19		2re 9014	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
21	20, 17	remulcld 8013	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
22	18, 21	readdcld 8012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
23		1red 7997	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
24	22, 23	readdcld 8012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
25	17	recnd 8011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	mulid2d 8001	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
28		1le2 9152	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
29		lemul1a 8840	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 1 ≤ 2) → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
30	28, 29	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1253	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
32	26, 31	eqbrtrrd 4042	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (2 · 𝐴))
33	17	sqge0d 10707	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))
34	21, 18	addge02d 8516	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴↑2) ↔ (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴))))
35	33, 34	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)))
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 8106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)))
37	22	ltp1d 8912	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) < (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 8107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 11044	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (1 + 𝐴))
41		1cnd 7998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
42	41, 25	addcomd 8133	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
43	40, 42	eqtrd 2222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐴 + 1))
44	43	oveq1d 5907	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) = ((𝐴 + 1)↑2))
45		binom21 10659	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
46	25, 45	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
47	44, 46	eqtrd 2222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
48	38, 47	breqtrrd 4046	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘1)↑2))
49	39, 17, 27	resqrexlemf 11043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
50	49	ffvelcdmda 5668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
51	50	rpred 9721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
52	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	52, 50	rerpdivcld 9753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
54	51, 53	resubcld 8363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
56	55	resqcld 10706	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) ∈ ℝ)
57		4re 9021	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 4 ∈ ℝ)
59	51	resqcld 10706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ)
60	59, 52	resubcld 8363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
62	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
63	52, 59	posdifd 8514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴)))
64	63	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴))
65	50	rpgt0d 9724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐹‘𝑘))
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < (𝐹‘𝑘))
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 8917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹‘𝑘)))
68	51	recnd 8011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
69	68	sqcld 10678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℂ)
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℂ)
71	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
73	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
74	50	rpap0d 9727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) # 0)
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (𝐹‘𝑘) # 0)
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 8812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹‘𝑘)) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) / (𝐹‘𝑘)) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
77	73	sqvald 10677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((𝐹‘𝑘)↑2) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
78	77	oveq1d 5907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) / (𝐹‘𝑘)) = (((𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)) / (𝐹‘𝑘)))
79	73, 73, 75	divcanap3d 8777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (((𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)) / (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
80	78, 79	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) / (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
81	80	oveq1d 5907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) / (𝐹‘𝑘)) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
82	76, 81	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
83	67, 82	breqtrd 4044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
84	55, 83	gt0ap0d 8611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) # 0)
85	55, 84	sqgt0apd 10708	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < (((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2))
86		4pos 9041	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < 4)
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 8917	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 0 < ((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4))
89	57, 86	gt0ap0ii 8610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 # 0
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 4 # 0)
91	56, 58, 90	redivclapd 8817	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → ((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) ∈ ℝ)
92	52	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
93	91, 92	ltaddpos2d 8512	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (0 < ((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) ↔ 𝐴 < (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
94	88, 93	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 𝐴 < (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 11045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2))
96	95	oveq1d 5907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2)↑2))
97	51, 53	readdcld 8012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
98	97	recnd 8011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℂ)
99		2cnd 9017	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
100		2ap0 9037	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 # 0
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 # 0)
102	98, 99, 101	sqdivapd 10693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2)↑2) = ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / (2↑2)))
103	96, 102	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / (2↑2)))
104		sq2 10642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑2) = 4
105	104	oveq2i 5903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / (2↑2)) = ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4)
106	103, 105	eqtrdi 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4))
107	71, 68, 74	divcanap2d 8774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) = 𝐴)
108	107	oveq2d 5908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))) = (2 · 𝐴))
109	108	oveq2d 5908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) = (((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)))
110	109	oveq1d 5907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
111	110	oveq1d 5907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
112	53	recnd 8011	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
113		binom2sub 10660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
114	68, 112, 113	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
115	114	oveq1d 5907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
116		binom2 10658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
117	68, 112, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
118	108	oveq2d 5908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) = (((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)))
119	118	oveq1d 5907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑘) · (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
120	117, 119	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
121	99, 71	mulcld 8003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
122	121	negcld 8280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(2 · 𝐴) ∈ ℂ)
123		4cn 9022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 ∈ ℂ
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
125	124, 71	mulcld 8003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
126	69, 122, 125	addassd 8005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑘)↑2) + (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴))))
127	69, 121	negsubd 8299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)))
128	127	oveq1d 5907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)))
129		2cn 9015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℂ
130	129	negcli 8250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ -2 ∈ ℂ
131	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -2 ∈ ℂ)
132	131, 124, 71	adddird 8008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 + 4) · 𝐴) = ((-2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
133	99, 71	mulneg1d 8393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · 𝐴) = -(2 · 𝐴))
134	133	oveq1d 5907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)) = (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
135	132, 134	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 + 4) · 𝐴) = (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
136	130, 129, 129	addassi 7990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-2 + 2) + 2) = (-2 + (2 + 2))
137	129	subidi 8253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 − 2) = 0
138	137	negeqi 8176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -(2 − 2) = -0
139	129, 129	negsubdii 8267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -(2 − 2) = (-2 + 2)
140		neg0 8228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -0 = 0
141	138, 139, 140	3eqtr3i 2218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (-2 + 2) = 0
142	141	oveq1i 5902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((-2 + 2) + 2) = (0 + 2)
143	129	addid2i 8125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 + 2) = 2
144	142, 143	eqtri 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-2 + 2) + 2) = 2
145		2p2e4 9071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 + 2) = 4
146	145	oveq2i 5903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-2 + (2 + 2)) = (-2 + 4)
147	136, 144, 146	3eqtr3ri 2219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-2 + 4) = 2
148	147	oveq1i 5902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-2 + 4) · 𝐴) = (2 · 𝐴)
149	135, 148	eqtr3di 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)) = (2 · 𝐴))
150	149	oveq2d 5908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) + (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴))) = (((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)))
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) = ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)))
152	151	oveq1d 5907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) = (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)))
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
154	153, 52	remulcld 8013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
155	59, 154	resubcld 8363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
157	156, 52	remulcld 8013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ)
158	53	resqcld 10706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
159		recn 7969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 ∈ ℝ → 𝑓 ∈ ℂ)
160		recn 7969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 ∈ ℝ → 𝑔 ∈ ℂ)
161		addcom 8119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
162	159, 160, 161	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
163	162	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
164		recn 7969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ ℝ → ℎ ∈ ℂ)
165		addass 7966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ ∧ ℎ ∈ ℂ) → ((𝑓 + 𝑔) + ℎ) = (𝑓 + (𝑔 + ℎ)))
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ ℎ ∈ ℝ) → ((𝑓 + 𝑔) + ℎ) = (𝑓 + (𝑔 + ℎ)))
167	166	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ ℎ ∈ ℝ)) → ((𝑓 + 𝑔) + ℎ) = (𝑓 + (𝑔 + ℎ)))
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 6073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) = (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
169	120, 152, 168	3eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = (((((𝐹‘𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) = ((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)))
171	170	oveq1d 5907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) = (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4))
172	106, 171	eqtrd 2222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4))
173	68, 112	subcld 8293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℂ)
174	173	sqcld 10678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) ∈ ℂ)
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 4 # 0)
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 8811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4) = (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + ((4 · 𝐴) / 4)))
177	71, 124, 175	divcanap3d 8777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((4 · 𝐴) / 4) = 𝐴)
178	177	oveq2d 5908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + ((4 · 𝐴) / 4)) = (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
179	172, 176, 178	3eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
180	179	breq2d 4030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ↔ 𝐴 < (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
181	180	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ↔ 𝐴 < (((((𝐹‘𝑘) − (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
182	94, 181	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
183	182	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2)))
184	183	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
185	184	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2)) → (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 8960	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2)))
187	186	impcom 125	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  {csn 3607   class class class wbr 4018   × cxp 4639  ‘cfv 5232  (class class class)co 5892   ∈ cmpo 5894  ℂcc 7834  ℝcr 7835  0cc0 7836  1c1 7837   + caddc 7839   · cmul 7841   < clt 8017   ≤ cle 8018   − cmin 8153  -cneg 8154   # cap 8563   / cdiv 8654  ℕcn 8944  2c2 8995  4c4 8997  ℝ⁺crp 9678  seqcseq 10471  ↑cexp 10545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554  df-rp 9679  df-seqfrec 10472  df-exp 10546

This theorem is referenced by:  resqrexlemdec  11047  resqrexlemcalc2  11051  resqrexlemnmsq  11053  resqrexlemga  11059