Theorem subsq 10823

Description: Factor the difference of two squares. (Contributed by NM, 21-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
subsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem subsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8301	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	adddird 8128	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 · (𝐴 − 𝐵)) + (𝐵 · (𝐴 − 𝐵))))
5		subdi 8487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)))
6	5	3anidm12 1308	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)))
7		sqval 10774	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
8	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
9	8	oveq1d 5977	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)))
10	6, 9	eqtr4d 2242	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴↑2) − (𝐴 · 𝐵)))
11	2, 1, 2	subdid 8516	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))
12		mulcom 8084	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
13		sqval 10774	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
14	13	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
15	12, 14	oveq12d 5980	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐵↑2)) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))
16	11, 15	eqtr4d 2242	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐵↑2)))
17	10, 16	oveq12d 5980	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐴 − 𝐵)) + (𝐵 · (𝐴 − 𝐵))) = (((𝐴↑2) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) − (𝐵↑2))))
18		sqcl 10777	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
20		mulcl 8082	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
21		sqcl 10777	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
22	21	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
23	19, 20, 22	npncand 8437	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) − (𝐵↑2))) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))
24	4, 17, 23	3eqtrrd 2244	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5962  ℂcc 7953   + caddc 7958   · cmul 7960   − cmin 8273  2c2 9117  ↑cexp 10715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-seqfrec 10625  df-exp 10716

This theorem is referenced by:  subsq2  10824  subsqi  10826  resqrexlemnm  11414  resqrexlemglsq  11418  pythagtriplem4  12676  pythagtriplem6  12678  pythagtriplem7  12679  pythagtriplem12  12683  pythagtriplem14  12685  pythagtriplem16  12687  difsqpwdvds  12746  4sqlem8  12793  4sqlem10  12795  4sqlem11  12809  wilthlem1  15537  lgslem1  15562  2sqlem4  15680