Theorem binom2 11013

Description: The square of a binomial. (Contributed by FL, 10-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
binom2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Proof of Theorem binom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 8252	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	adddid 8298	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵)))
5	2, 3, 2	adddird 8299	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐴)))
6	3, 2	mulcomd 8295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
7	6	oveq2d 6066	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)))
8	5, 7	eqtrd 2265	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)))
9	2, 3, 3	adddird 8299	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵)))
10	8, 9	oveq12d 6068	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵))))
11	2, 2	mulcld 8294	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
12	2, 3	mulcld 8294	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
13	11, 12	addcld 8293	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
14	3, 3	mulcld 8294	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
15	13, 12, 14	addassd 8296	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐵 · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵))))
16	11, 12, 12	addassd 8296	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))))
17	16	oveq1d 6065	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐵 · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵)))
18	10, 15, 17	3eqtr2d 2271	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵)))
19	4, 18	eqtrd 2265	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵)))
20		sqval 10959	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)))
21	1, 20	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)))
22		sqval 10959	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
23	2, 22	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
24	12	2timesd 9481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
25	23, 24	oveq12d 6068	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))))
26		sqval 10959	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
27	3, 26	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
28	25, 27	oveq12d 6068	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵)))
29	19, 21, 28	3eqtr4d 2275	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050  ℂcc 8125   + caddc 8130   · cmul 8132  2c2 9288  ↑cexp 10900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-seqfrec 10810  df-exp 10901

This theorem is referenced by:  binom21  11014  binom2sub  11015  mulbinom2  11018  binom3  11019  nn0opthlem1d  11082  resqrexlemover  11695  resqrexlemcalc1  11699  abstri  11789  amgm2  11803  bdtrilem  11924  pythagtriplem1  12963  pythagtriplem12  12973