Theorem binom2 10760

Description: The square of a binomial. (Contributed by FL, 10-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
binom2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Proof of Theorem binom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 8021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	adddid 8068	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵)))
5	2, 3, 2	adddird 8069	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐴)))
6	3, 2	mulcomd 8065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
7	6	oveq2d 5941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)))
8	5, 7	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)))
9	2, 3, 3	adddird 8069	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵)))
10	8, 9	oveq12d 5943	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵))))
11	2, 2	mulcld 8064	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
12	2, 3	mulcld 8064	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
13	11, 12	addcld 8063	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
14	3, 3	mulcld 8064	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
15	13, 12, 14	addassd 8066	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐵 · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵))))
16	11, 12, 12	addassd 8066	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))))
17	16	oveq1d 5940	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐵 · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵)))
18	10, 15, 17	3eqtr2d 2235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵)))
19	4, 18	eqtrd 2229	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵)))
20		sqval 10706	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)))
21	1, 20	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)))
22		sqval 10706	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
23	2, 22	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
24	12	2timesd 9251	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
25	23, 24	oveq12d 5943	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))))
26		sqval 10706	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
27	3, 26	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
28	25, 27	oveq12d 5943	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵)))
29	19, 21, 28	3eqtr4d 2239	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  ℂcc 7894   + caddc 7899   · cmul 7901  2c2 9058  ↑cexp 10647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557  df-exp 10648

This theorem is referenced by:  binom21  10761  binom2sub  10762  mulbinom2  10765  binom3  10766  nn0opthlem1d  10829  resqrexlemover  11192  resqrexlemcalc1  11196  abstri  11286  amgm2  11300  bdtrilem  11421  pythagtriplem1  12459  pythagtriplem12  12469