Theorem rpcxpadd 14729

Description: Sum of exponents law for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rpcxpadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵) · (𝐴↑𝑐𝐶)))

Proof of Theorem rpcxpadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1000	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simp3 1001	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		relogcl 14686	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 8005	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 2, 5	adddird 8002	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶) · (log‘𝐴)) = ((𝐵 · (log‘𝐴)) + (𝐶 · (log‘𝐴))))
7	6	fveq2d 5534	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 + 𝐶) · (log‘𝐴))) = (exp‘((𝐵 · (log‘𝐴)) + (𝐶 · (log‘𝐴)))))
8	1, 5	mulcld 7997	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
9	2, 5	mulcld 7997	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
10		efadd 11702	. . . 4 ⊢ (((𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 · (log‘𝐴)) + (𝐶 · (log‘𝐴)))) = ((exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) · (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 · (log‘𝐴)) + (𝐶 · (log‘𝐴)))) = ((exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) · (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
12	7, 11	eqtrd 2222	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 + 𝐶) · (log‘𝐴))) = ((exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) · (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
13		simp1 999	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
14	1, 2	addcld 7996	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
15		rpcxpef 14718	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 + 𝐶)) = (exp‘((𝐵 + 𝐶) · (log‘𝐴))))
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 + 𝐶)) = (exp‘((𝐵 + 𝐶) · (log‘𝐴))))
17		rpcxpef 14718	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
18	13, 1, 17	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
19		rpcxpef 14718	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
20	13, 2, 19	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
21	18, 20	oveq12d 5909	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐𝐵) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) · (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
22	12, 16, 21	3eqtr4d 2232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵) · (𝐴↑𝑐𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  ℂcc 7828  ℝcr 7829   + caddc 7833   · cmul 7835  ℝ⁺crp 9672  expce 11669  logclog 14680  ↑_𝑐ccxp 14681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950  ax-pre-suploc 7951  ax-addf 7952  ax-mulf 7953

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-of 6101  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-map 6668  df-pm 6669  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-sup 7002  df-inf 7003  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-xneg 9791  df-xadd 9792  df-ioo 9911  df-ico 9913  df-icc 9914  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-fac 10725  df-bc 10747  df-ihash 10775  df-shft 10843  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-clim 11306  df-sumdc 11381  df-ef 11675  df-e 11676  df-rest 12718  df-topgen 12737  df-psmet 13823  df-xmet 13824  df-met 13825  df-bl 13826  df-mopn 13827  df-top 13901  df-topon 13914  df-bases 13946  df-ntr 13999  df-cn 14091  df-cnp 14092  df-tx 14156  df-cncf 14461  df-limced 14528  df-dvap 14529  df-relog 14682  df-rpcxp 14683

This theorem is referenced by:  rpcxpp1  14730  rpcxpneg  14731  rpcxpsub  14732  rpcxpsqrt  14745