Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpcxpadd GIF version

 Description: Sum of exponents law for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
rpcxpadd ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵) · (𝐴𝑐𝐶)))

StepHypRef Expression
1 simp2 983 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2 simp3 984 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
3 relogcl 13011 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
433ad2ant1 1003 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 7838 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
61, 2, 5adddird 7835 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶) · (log‘𝐴)) = ((𝐵 · (log‘𝐴)) + (𝐶 · (log‘𝐴))))
76fveq2d 5434 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 + 𝐶) · (log‘𝐴))) = (exp‘((𝐵 · (log‘𝐴)) + (𝐶 · (log‘𝐴)))))
81, 5mulcld 7830 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
92, 5mulcld 7830 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
10 efadd 11438 . . . 4 (((𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 · (log‘𝐴)) + (𝐶 · (log‘𝐴)))) = ((exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) · (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
118, 9, 10syl2anc 409 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 · (log‘𝐴)) + (𝐶 · (log‘𝐴)))) = ((exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) · (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
127, 11eqtrd 2173 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 + 𝐶) · (log‘𝐴))) = ((exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) · (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
13 simp1 982 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
141, 2addcld 7829 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
15 rpcxpef 13043 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 + 𝐶)) = (exp‘((𝐵 + 𝐶) · (log‘𝐴))))
1613, 14, 15syl2anc 409 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 + 𝐶)) = (exp‘((𝐵 + 𝐶) · (log‘𝐴))))
17 rpcxpef 13043 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
1813, 1, 17syl2anc 409 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
19 rpcxpef 13043 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
2013, 2, 19syl2anc 409 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
2118, 20oveq12d 5801 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑐𝐵) · (𝐴𝑐𝐶)) = ((exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) · (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
2212, 16, 213eqtr4d 2183 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵) · (𝐴𝑐𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783  ℂcc 7662  ℝcr 7663   + caddc 7667   · cmul 7669  ℝ+crp 9490  expce 11405  logclog 13005  ↑𝑐ccxp 13006 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784  ax-pre-suploc 7785  ax-addf 7786  ax-mulf 7787 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-disj 3916  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-isom 5141  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-of 5991  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-irdg 6276  df-frec 6297  df-1o 6322  df-oadd 6326  df-er 6438  df-map 6553  df-pm 6554  df-en 6644  df-dom 6645  df-fin 6646  df-sup 6881  df-inf 6882  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-xneg 9609  df-xadd 9610  df-ioo 9725  df-ico 9727  df-icc 9728  df-fz 9842  df-fzo 9971  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-fac 10524  df-bc 10546  df-ihash 10574  df-shft 10639  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-clim 11100  df-sumdc 11175  df-ef 11411  df-e 11412  df-rest 12181  df-topgen 12200  df-psmet 12215  df-xmet 12216  df-met 12217  df-bl 12218  df-mopn 12219  df-top 12224  df-topon 12237  df-bases 12269  df-ntr 12324  df-cn 12416  df-cnp 12417  df-tx 12481  df-cncf 12786  df-limced 12853  df-dvap 12854  df-relog 13007  df-rpcxp 13008 This theorem is referenced by:  rpcxpp1  13055  rpcxpneg  13056  rpcxpsub  13057  rpcxpsqrt  13070
 Copyright terms: Public domain W3C validator