ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subsq2 GIF version

Theorem subsq2 10627
Description: Express the difference of the squares of two numbers as a polynomial in the difference of the numbers. (Contributed by NM, 21-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
subsq2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = (((𝐴𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))

Proof of Theorem subsq2
StepHypRef Expression
1 2cn 8989 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
2 mulcl 7937 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
31, 2mpan 424 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
43adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
5 subadd23 8168 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)))
64, 5mpd3an3 1338 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)))
7 2times 9046 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
87oveq1d 5889 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = ((𝐵 + 𝐵) − 𝐵))
9 pncan 8162 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
109anidms 397 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
118, 10eqtrd 2210 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
1211adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
1312oveq2d 5890 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
146, 13eqtrd 2210 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
1514oveq1d 5889 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) · (𝐴𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
16 subcl 8155 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1716, 4, 16adddird 7982 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) · (𝐴𝐵)) = (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))
1815, 17eqtr3d 2212 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) = (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))
19 subsq 10626 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
20 sqval 10577 . . . 4 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴𝐵)↑2) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)))
2116, 20syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵)↑2) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)))
2221oveq1d 5889 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))) = (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))
2318, 19, 223eqtr4d 2220 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = (((𝐴𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  (class class class)co 5874  cc 7808   + caddc 7813   · cmul 7815  cmin 8127  2c2 8969  cexp 10518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-seqfrec 10445  df-exp 10519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator