ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subsq2 GIF version

Theorem subsq2 10400
Description: Express the difference of the squares of two numbers as a polynomial in the difference of the numbers. (Contributed by NM, 21-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
subsq2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = (((𝐴𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))

Proof of Theorem subsq2
StepHypRef Expression
1 2cn 8791 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
2 mulcl 7747 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
31, 2mpan 420 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
43adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
5 subadd23 7974 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)))
64, 5mpd3an3 1316 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)))
7 2times 8848 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
87oveq1d 5789 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = ((𝐵 + 𝐵) − 𝐵))
9 pncan 7968 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
109anidms 394 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
118, 10eqtrd 2172 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
1211adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
1312oveq2d 5790 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
146, 13eqtrd 2172 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
1514oveq1d 5789 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) · (𝐴𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
16 subcl 7961 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1716, 4, 16adddird 7791 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) · (𝐴𝐵)) = (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))
1815, 17eqtr3d 2174 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) = (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))
19 subsq 10399 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
20 sqval 10351 . . . 4 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴𝐵)↑2) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)))
2116, 20syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵)↑2) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)))
2221oveq1d 5789 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))) = (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))
2318, 19, 223eqtr4d 2182 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = (((𝐴𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  (class class class)co 5774  cc 7618   + caddc 7623   · cmul 7625  cmin 7933  2c2 8771  cexp 10292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219  df-exp 10293
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator