Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subsq2 GIF version

Theorem subsq2 10125
 Description: Express the difference of the squares of two numbers as a polynomial in the difference of the numbers. (Contributed by NM, 21-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
subsq2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = (((𝐴𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))

Proof of Theorem subsq2
StepHypRef Expression
1 2cn 8556 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
2 mulcl 7532 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
31, 2mpan 416 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
43adantl 272 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
5 subadd23 7757 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)))
64, 5mpd3an3 1275 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)))
7 2times 8607 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
87oveq1d 5683 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = ((𝐵 + 𝐵) − 𝐵))
9 pncan 7751 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
109anidms 390 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
118, 10eqtrd 2121 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
1211adantl 272 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
1312oveq2d 5684 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
146, 13eqtrd 2121 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
1514oveq1d 5683 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) · (𝐴𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
16 subcl 7744 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1716, 4, 16adddird 7576 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) · (𝐴𝐵)) = (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))
1815, 17eqtr3d 2123 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) = (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))
19 subsq 10124 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
20 sqval 10076 . . . 4 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴𝐵)↑2) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)))
2116, 20syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵)↑2) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)))
2221oveq1d 5683 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))) = (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))
2318, 19, 223eqtr4d 2131 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = (((𝐴𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  (class class class)co 5668  ℂcc 7411   + caddc 7416   · cmul 7418   − cmin 7716  2c2 8536  ↑cexp 10017 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator