Theorem subsq2 10809

Description: Express the difference of the squares of two numbers as a polynomial in the difference of the numbers. (Contributed by NM, 21-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
subsq2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = (((𝐴 − 𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))

Proof of Theorem subsq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 9122	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		mulcl 8067	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd23 8299	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)))
6	4, 5	mpd3an3 1351	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)))
7		2times 9179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
8	7	oveq1d 5971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = ((𝐵 + 𝐵) − 𝐵))
9		pncan 8293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
10	9	anidms 397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
11	8, 10	eqtrd 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
12	11	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
13	12	oveq2d 5972	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
14	6, 13	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
15	14	oveq1d 5971	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐵) + (2 · 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
16		subcl 8286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	16, 4, 16	adddird 8113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐵) + (2 · 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
18	15, 17	eqtr3d 2241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
19		subsq 10808	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
20		sqval 10759	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 − 𝐵)↑2) = ((𝐴 − 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
21	16, 20	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) = ((𝐴 − 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
22	21	oveq1d 5971	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) = (((𝐴 − 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
23	18, 19, 22	3eqtr4d 2249	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = (((𝐴 − 𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5956  ℂcc 7938   + caddc 7943   · cmul 7945   − cmin 8258  2c2 9102  ↑cexp 10700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-inn 9052  df-2 9110  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-seqfrec 10610  df-exp 10701

This theorem is referenced by: (None)