ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subsq2 GIF version

Theorem subsq2 10628
Description: Express the difference of the squares of two numbers as a polynomial in the difference of the numbers. (Contributed by NM, 21-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
subsq2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = (((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))

Proof of Theorem subsq2
StepHypRef Expression
1 2cn 8990 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
2 mulcl 7938 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
31, 2mpan 424 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
43adantl 277 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5 subadd23 8169 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) + (2 ยท ๐ต)) = (๐ด + ((2 ยท ๐ต) โˆ’ ๐ต)))
64, 5mpd3an3 1338 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) + (2 ยท ๐ต)) = (๐ด + ((2 ยท ๐ต) โˆ’ ๐ต)))
7 2times 9047 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
87oveq1d 5890 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐ต) โˆ’ ๐ต) = ((๐ต + ๐ต) โˆ’ ๐ต))
9 pncan 8163 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต + ๐ต) โˆ’ ๐ต) = ๐ต)
109anidms 397 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ต + ๐ต) โˆ’ ๐ต) = ๐ต)
118, 10eqtrd 2210 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐ต) โˆ’ ๐ต) = ๐ต)
1211adantl 277 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐ต) โˆ’ ๐ต) = ๐ต)
1312oveq2d 5891 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ((2 ยท ๐ต) โˆ’ ๐ต)) = (๐ด + ๐ต))
146, 13eqtrd 2210 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) + (2 ยท ๐ต)) = (๐ด + ๐ต))
1514oveq1d 5890 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) + (2 ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
16 subcl 8156 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1716, 4, 16adddird 7983 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) + (2 ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
1815, 17eqtr3d 2212 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
19 subsq 10627 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
20 sqval 10578 . . . 4 ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
2116, 20syl 14 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
2221oveq1d 5890 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) = (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
2318, 19, 223eqtr4d 2220 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = (((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809   + caddc 7814   ยท cmul 7816   โˆ’ cmin 8128  2c2 8970  โ†‘cexp 10519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-seqfrec 10446  df-exp 10520
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator