ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axapti GIF version

Theorem axapti 7557
Description: Apartness of reals is tight. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. (This restates ax-pre-apti 7460 with ordering on the extended reals.) (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
axapti ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem axapti
StepHypRef Expression
1 ltxrlt 7552 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
2 ltxrlt 7552 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴𝐵 < 𝐴))
32ancoms 264 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴𝐵 < 𝐴))
41, 3orbi12d 742 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
54notbid 627 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
6 ax-pre-apti 7460 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
763expia 1145 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
85, 7sylbid 148 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
983impia 1140 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3845  cr 7349   < cltrr 7354   < clt 7522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-pre-apti 7460
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-ltxr 7527
This theorem is referenced by:  lttri3  7565  reapti  8056
  Copyright terms: Public domain W3C validator