Theorem axltadd 8149

Description: Ordering property of addition on reals. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. (This restates ax-pre-ltadd 8048 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
axltadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem axltadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pre-ltadd 8048	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 <ℝ 𝐵 → (𝐶 + 𝐴) <ℝ (𝐶 + 𝐵)))
2		ltxrlt 8145	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐵))
3	2	3adant3 1020	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐵))
4		readdcl 8058	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ)
5		readdcl 8058	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		ltxrlt 8145	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) ↔ (𝐶 + 𝐴) <ℝ (𝐶 + 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) ↔ (𝐶 + 𝐴) <ℝ (𝐶 + 𝐵)))
8	7	3impdi 1306	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) ↔ (𝐶 + 𝐴) <ℝ (𝐶 + 𝐵)))
9	8	3coml 1213	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) ↔ (𝐶 + 𝐴) <ℝ (𝐶 + 𝐵)))
10	1, 3, 9	3imtr4d 203	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951  ℝcr 7931   + caddc 7935   <_ℝ cltrr 7936   < clt 8114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-addrcl 8029  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-opab 4110  df-xp 4685  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119

This theorem is referenced by:  ltadd2  8499  nnge1  9066  ltoddhalfle  12248