ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lttri3 GIF version

Theorem lttri3 8027
Description: Tightness of real apartness. (Contributed by NM, 5-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lttri3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem lttri3
StepHypRef Expression
1 ltnr 8024 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2 breq2 4004 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐵))
32notbid 667 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
41, 3syl5ibcom 155 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
5 breq1 4003 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴𝐵 < 𝐴))
65notbid 667 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
71, 6syl5ibcom 155 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
84, 7jcad 307 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
98adantr 276 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
10 ioran 752 . . 3 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
11 axapti 8018 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
12113expia 1205 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
1310, 12biimtrrid 153 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
149, 13impbid 129 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cr 7801   < clt 7982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-apti 7917
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4629  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-ltxr 7987
This theorem is referenced by:  letri3  8028  lttri3i  8045  lttri3d  8062  inelr  8531  lbinf  8894  suprubex  8897  suprlubex  8898  suprleubex  8900  sup3exmid  8903  suprzclex  9340  infrenegsupex  9583  supminfex  9586  infregelbex  9587  xrlttri3  9784  maxleim  11198  maxabs  11202  maxleast  11206  zsupcl  11931  zssinfcl  11932  infssuzledc  11934  suprzcl2dc  11939  dvdslegcd  11948  bezoutlemsup  11993  dfgcd2  11998  lcmgcdlem  12060  suplociccex  13770  pilem3  13871  taupi  14474
  Copyright terms: Public domain W3C validator