Theorem lttri3 8369

Description: Tightness of real apartness. (Contributed by NM, 5-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lttri3	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem lttri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8366	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		breq2 4118	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴 ↔ 𝐴 < 𝐵))
3	2	notbid 673	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4	1, 3	syl5ibcom 155	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
5		breq1 4117	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴 ↔ 𝐵 < 𝐴))
6	5	notbid 673	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
7	1, 6	syl5ibcom 155	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
8	4, 7	jcad 307	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
9	8	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
10		ioran 760	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
11		axapti 8360	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
12	11	3expia 1232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
13	10, 12	biimtrrid 153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
14	9, 13	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ℝcr 8142   < clt 8324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-apti 8258

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329

This theorem is referenced by:  letri3  8370  lttri3i  8387  lttri3d  8404  inelr  8876  lbinf  9242  suprubex  9245  suprlubex  9246  suprleubex  9248  sup3exmid  9251  suprzclex  9697  infrenegsupex  9947  supminfex  9950  infregelbex  9951  xrlttri3  10152  zsupcl  10616  zssinfcl  10617  infssuzledc  10619  suprzcl2dc  10626  maxleim  11919  maxabs  11923  maxleast  11927  dvdslegcd  12689  bezoutlemsup  12734  dfgcd2  12739  lcmgcdlem  12803  ballotfilemirc  13223  suplociccex  15620  pilem3  15778  taupi  16998