ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lttri3 GIF version

Theorem lttri3 7502
Description: Tightness of real apartness. (Contributed by NM, 5-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lttri3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem lttri3
StepHypRef Expression
1 ltnr 7499 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2 breq2 3824 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐵))
32notbid 625 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
41, 3syl5ibcom 153 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
5 breq1 3823 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴𝐵 < 𝐴))
65notbid 625 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
71, 6syl5ibcom 153 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
84, 7jcad 301 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
98adantr 270 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
10 ioran 702 . . 3 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
11 axapti 7494 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
12113expia 1143 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
1310, 12syl5bir 151 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
149, 13impbid 127 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3820  cr 7286   < clt 7459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-pow 3983  ax-pr 4009  ax-un 4233  ax-setind 4325  ax-cnex 7373  ax-resscn 7374  ax-pre-ltirr 7394  ax-pre-apti 7397
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-xp 4416  df-pnf 7461  df-mnf 7462  df-ltxr 7464
This theorem is referenced by:  letri3  7503  lttri3i  7519  lttri3d  7536  inelr  7995  lbinf  8337  suprubex  8340  suprlubex  8341  suprleubex  8343  suprzclex  8770  infrenegsupex  9007  supminfex  9010  xrlttri3  9192  maxleim  10526  maxabs  10530  maxleast  10534  zsupcl  10810  zssinfcl  10811  infssuzledc  10813  dvdslegcd  10823  bezoutlemsup  10865  dfgcd2  10870  lcmgcdlem  10926
  Copyright terms: Public domain W3C validator