Theorem lttri3 8099

Description: Tightness of real apartness. (Contributed by NM, 5-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lttri3	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem lttri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8096	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		breq2 4033	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴 ↔ 𝐴 < 𝐵))
3	2	notbid 668	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4	1, 3	syl5ibcom 155	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
5		breq1 4032	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴 ↔ 𝐵 < 𝐴))
6	5	notbid 668	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
7	1, 6	syl5ibcom 155	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
8	4, 7	jcad 307	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
9	8	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
10		ioran 753	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
11		axapti 8090	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
12	11	3expia 1207	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
13	10, 12	biimtrrid 153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
14	9, 13	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ℝcr 7871   < clt 8054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-apti 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059

This theorem is referenced by:  letri3  8100  lttri3i  8117  lttri3d  8134  inelr  8603  lbinf  8967  suprubex  8970  suprlubex  8971  suprleubex  8973  sup3exmid  8976  suprzclex  9415  infrenegsupex  9659  supminfex  9662  infregelbex  9663  xrlttri3  9863  maxleim  11349  maxabs  11353  maxleast  11357  zsupcl  12084  zssinfcl  12085  infssuzledc  12087  suprzcl2dc  12092  dvdslegcd  12101  bezoutlemsup  12146  dfgcd2  12151  lcmgcdlem  12215  suplociccex  14779  pilem3  14918  taupi  15563