Theorem reapti 8897

Description: Real apartness is tight. Beyond the development of apartness itself, proofs should use apti 8940. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
reapti	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 #ℝ 𝐵))

Proof of Theorem reapti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8392	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3		oridm 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝐴)
4		breq2 4129	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴 ↔ 𝐴 < 𝐵))
5		breq1 4128	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴 ↔ 𝐵 < 𝐴))
6	4, 5	orbi12d 805	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐴) ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
7	3, 6	bitr3id 194	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
8	7	notbid 677	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
9	2, 8	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
10		reapval 8894	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 #ℝ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
11	10	notbid 677	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴 #ℝ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
12	9, 11	sylibrd 169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 #ℝ 𝐵))
13		axapti 8386	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
14	13	3expia 1236	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
15	11, 14	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴 #ℝ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
16	12, 15	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 #ℝ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ℝcr 8168   < clt 8350   #_ℝ creap 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-apti 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-reap 8893

This theorem is referenced by:  rimul  8903  apreap  8905  apti  8940