Theorem reapti 8600

Description: Real apartness is tight. Beyond the development of apartness itself, proofs should use apti 8643. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
reapti	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 #ℝ 𝐵))

Proof of Theorem reapti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8098	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3		oridm 758	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝐴)
4		breq2 4034	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴 ↔ 𝐴 < 𝐵))
5		breq1 4033	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴 ↔ 𝐵 < 𝐴))
6	4, 5	orbi12d 794	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐴) ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
7	3, 6	bitr3id 194	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
8	7	notbid 668	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
9	2, 8	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
10		reapval 8597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 #ℝ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
11	10	notbid 668	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴 #ℝ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
12	9, 11	sylibrd 169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 #ℝ 𝐵))
13		axapti 8092	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
14	13	3expia 1207	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
15	11, 14	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴 #ℝ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
16	12, 15	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 #ℝ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ℝcr 7873   < clt 8056   #_ℝ creap 8595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-apti 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-reap 8596

This theorem is referenced by:  rimul  8606  apreap  8608  apti  8643