Theorem reapti 8758

Description: Real apartness is tight. Beyond the development of apartness itself, proofs should use apti 8801. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
reapti	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 #ℝ 𝐵))

Proof of Theorem reapti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8255	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3		oridm 764	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝐴)
4		breq2 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴 ↔ 𝐴 < 𝐵))
5		breq1 4091	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴 ↔ 𝐵 < 𝐴))
6	4, 5	orbi12d 800	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐴) ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
7	3, 6	bitr3id 194	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
8	7	notbid 673	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
9	2, 8	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
10		reapval 8755	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 #ℝ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
11	10	notbid 673	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴 #ℝ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
12	9, 11	sylibrd 169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 #ℝ 𝐵))
13		axapti 8249	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
14	13	3expia 1231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
15	11, 14	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴 #ℝ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
16	12, 15	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 #ℝ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8030   < clt 8213   #_ℝ creap 8753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-apti 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-reap 8754

This theorem is referenced by:  rimul  8764  apreap  8766  apti  8801