Theorem axmulgt0 8047

Description: The product of two positive reals is positive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. (This restates ax-pre-mulgt0 7946 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
axmulgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem axmulgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pre-mulgt0 7946	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 <ℝ 𝐴 ∧ 0 <ℝ 𝐵) → 0 <ℝ (𝐴 · 𝐵)))
2		0re 7975	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltxrlt 8041	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
4	2, 3	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
5		ltxrlt 8041	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ 0 <ℝ 𝐵))
6	2, 5	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ 0 <ℝ 𝐵))
7	4, 6	bi2anan9 606	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ↔ (0 <ℝ 𝐴 ∧ 0 <ℝ 𝐵)))
8		remulcl 7957	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
9		ltxrlt 8041	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 <ℝ (𝐴 · 𝐵)))
10	2, 8, 9	sylancr 414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 <ℝ (𝐴 · 𝐵)))
11	1, 7, 10	3imtr4d 203	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  ℝcr 7828  0cc0 7829   <_ℝ cltrr 7833   · cmul 7834   < clt 8010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1re 7923  ax-addrcl 7926  ax-mulrcl 7928  ax-rnegex 7938  ax-pre-mulgt0 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4647  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-ltxr 8015

This theorem is referenced by:  mulgt0  8050  mulgt0i  8085  sin02gt0  11789  sinq12gt0  14648