Theorem axmulgt0 8115

Description: The product of two positive reals is positive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. (This restates ax-pre-mulgt0 8013 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
axmulgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem axmulgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pre-mulgt0 8013	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 <ℝ 𝐴 ∧ 0 <ℝ 𝐵) → 0 <ℝ (𝐴 · 𝐵)))
2		0re 8043	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltxrlt 8109	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
4	2, 3	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
5		ltxrlt 8109	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ 0 <ℝ 𝐵))
6	2, 5	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ 0 <ℝ 𝐵))
7	4, 6	bi2anan9 606	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ↔ (0 <ℝ 𝐴 ∧ 0 <ℝ 𝐵)))
8		remulcl 8024	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
9		ltxrlt 8109	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 <ℝ (𝐴 · 𝐵)))
10	2, 8, 9	sylancr 414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 <ℝ (𝐴 · 𝐵)))
11	1, 7, 10	3imtr4d 203	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  0cc0 7896   <_ℝ cltrr 7900   · cmul 7901   < clt 8078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993  ax-mulrcl 7995  ax-rnegex 8005  ax-pre-mulgt0 8013

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083

This theorem is referenced by:  mulgt0  8118  mulgt0i  8153  sin02gt0  11946  sinq12gt0  15150