ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulgt0 GIF version

Theorem axmulgt0 7754
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. (This restates ax-pre-mulgt0 7656 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
axmulgt0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem axmulgt0
StepHypRef Expression
1 ax-pre-mulgt0 7656 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
2 0re 7684 . . . 4 0 ∈ ℝ
3 ltxrlt 7748 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴))
42, 3mpan 418 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴))
5 ltxrlt 7748 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ 0 < 𝐵))
62, 5mpan 418 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ 0 < 𝐵))
74, 6bi2anan9 578 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)))
8 remulcl 7666 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
9 ltxrlt 7748 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
102, 8, 9sylancr 408 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
111, 7, 103imtr4d 202 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1461   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726  cr 7540  0cc0 7541   < cltrr 7545   · cmul 7546   < clt 7718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1re 7633  ax-addrcl 7636  ax-mulrcl 7638  ax-rnegex 7648  ax-pre-mulgt0 7656
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-xp 4503  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-ltxr 7723
This theorem is referenced by:  mulgt0  7756  mulgt0i  7790  sin02gt0  11315
  Copyright terms: Public domain W3C validator