ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulgt0 GIF version

Theorem axmulgt0 8042
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. (This restates ax-pre-mulgt0 7941 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
axmulgt0 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต)))

Proof of Theorem axmulgt0
StepHypRef Expression
1 ax-pre-mulgt0 7941 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ ๐ต) โ†’ 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต)))
2 0re 7970 . . . 4 0 โˆˆ โ„
3 ltxrlt 8036 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†” 0 <โ„ ๐ด))
42, 3mpan 424 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†” 0 <โ„ ๐ด))
5 ltxrlt 8036 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ต โ†” 0 <โ„ ๐ต))
62, 5mpan 424 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ต โ†” 0 <โ„ ๐ต))
74, 6bi2anan9 606 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†” (0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ ๐ต)))
8 remulcl 7952 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
9 ltxrlt 8036 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†” 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต)))
102, 8, 9sylancr 414 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†” 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต)))
111, 7, 103imtr4d 203 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„cr 7823  0cc0 7824   <โ„ cltrr 7828   ยท cmul 7829   < clt 8005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921  ax-mulrcl 7923  ax-rnegex 7933  ax-pre-mulgt0 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010
This theorem is referenced by:  mulgt0  8045  mulgt0i  8080  sin02gt0  11784  sinq12gt0  14491
  Copyright terms: Public domain W3C validator