Theorem axlttrn 8154

Description: Ordering on reals is transitive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This restates ax-pre-lttrn 8052 with ordering on the extended reals. New proofs should use lttr 8159 instead for naming consistency. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
axlttrn	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem axlttrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pre-lttrn 8052	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 <ℝ 𝐵 ∧ 𝐵 <ℝ 𝐶) → 𝐴 <ℝ 𝐶))
2		ltxrlt 8151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐵))
3	2	3adant3 1020	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐵))
4		ltxrlt 8151	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ 𝐵 <ℝ 𝐶))
5	4	3adant1 1018	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ 𝐵 <ℝ 𝐶))
6	3, 5	anbi12d 473	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) ↔ (𝐴 <ℝ 𝐵 ∧ 𝐵 <ℝ 𝐶)))
7		ltxrlt 8151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐶))
8	7	3adant2 1019	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐶))
9	1, 6, 8	3imtr4d 203	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4048  ℝcr 7937   <_ℝ cltrr 7942   < clt 8120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-pre-lttrn 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-xp 4686  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-ltxr 8125

This theorem is referenced by:  lttr  8159