Theorem axltwlin 8230

Description: Real number less-than is weakly linear. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This restates ax-pre-ltwlin 8128 with ordering on the extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
axltwlin	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem axltwlin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pre-ltwlin 8128	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 <ℝ 𝐵 → (𝐴 <ℝ 𝐶 ∨ 𝐶 <ℝ 𝐵)))
2		ltxrlt 8228	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐵))
3	2	3adant3 1041	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐵))
4		ltxrlt 8228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐶))
5	4	3adant2 1040	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐶))
6		ltxrlt 8228	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ 𝐶 <ℝ 𝐵))
7	6	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ 𝐶 <ℝ 𝐵))
8	7	3adant1 1039	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ 𝐶 <ℝ 𝐵))
9	5, 8	orbi12d 798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐴 <ℝ 𝐶 ∨ 𝐶 <ℝ 𝐵)))
10	1, 3, 9	3imtr4d 203	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ℝcr 8014   <_ℝ cltrr 8019   < clt 8197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-pre-ltwlin 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4726  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-ltxr 8202

This theorem is referenced by:  ltso  8240  letr  8245  lelttr  8251  ltletr  8252  gt0add  8736  reapcotr  8761  sup3exmid  9120  xrltso  10009  rebtwn2zlemstep  10489  expnbnd  10902  leabs  11606  ltabs  11619  abslt  11620  absle  11621  maxabslemlub  11739  suplociccreex  15319  ivthinclemloc  15336  ivthdichlem  15346  cnplimclemle  15363  reeff1o  15468  efltlemlt  15469  sin0pilem2  15477  coseq0negpitopi  15531  cos02pilt1  15546