Theorem axltwlin 8222

Description: Real number less-than is weakly linear. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This restates ax-pre-ltwlin 8120 with ordering on the extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
axltwlin	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem axltwlin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pre-ltwlin 8120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 <ℝ 𝐵 → (𝐴 <ℝ 𝐶 ∨ 𝐶 <ℝ 𝐵)))
2		ltxrlt 8220	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐵))
3	2	3adant3 1041	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐵))
4		ltxrlt 8220	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐶))
5	4	3adant2 1040	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐶))
6		ltxrlt 8220	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ 𝐶 <ℝ 𝐵))
7	6	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ 𝐶 <ℝ 𝐵))
8	7	3adant1 1039	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ 𝐶 <ℝ 𝐵))
9	5, 8	orbi12d 798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐴 <ℝ 𝐶 ∨ 𝐶 <ℝ 𝐵)))
10	1, 3, 9	3imtr4d 203	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ℝcr 8006   <_ℝ cltrr 8011   < clt 8189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-pre-ltwlin 8120

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-ltxr 8194

This theorem is referenced by:  ltso  8232  letr  8237  lelttr  8243  ltletr  8244  gt0add  8728  reapcotr  8753  sup3exmid  9112  xrltso  10000  rebtwn2zlemstep  10480  expnbnd  10893  leabs  11593  ltabs  11606  abslt  11607  absle  11608  maxabslemlub  11726  suplociccreex  15306  ivthinclemloc  15323  ivthdichlem  15333  cnplimclemle  15350  reeff1o  15455  efltlemlt  15456  sin0pilem2  15464  coseq0negpitopi  15518  cos02pilt1  15533