ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axltwlin GIF version

Theorem axltwlin 7552
Description: Real number less-than is weakly linear. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This restates ax-pre-ltwlin 7456 with ordering on the extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
axltwlin ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem axltwlin
StepHypRef Expression
1 ax-pre-ltwlin 7456 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
2 ltxrlt 7550 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
323adant3 963 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
4 ltxrlt 7550 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
543adant2 962 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
6 ltxrlt 7550 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵𝐶 < 𝐵))
76ancoms 264 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵𝐶 < 𝐵))
873adant1 961 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵𝐶 < 𝐵))
95, 8orbi12d 742 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
101, 3, 93imtr4d 201 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103  wo 664  w3a 924  wcel 1438   class class class wbr 3845  cr 7347   < cltrr 7352   < clt 7520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-pre-ltwlin 7456
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-ltxr 7525
This theorem is referenced by:  ltso  7561  letr  7566  lelttr  7571  ltletr  7572  gt0add  8048  reapcotr  8073  xrltso  9264  rebtwn2zlemstep  9660  expnbnd  10073  leabs  10503  ltabs  10516  abslt  10517  absle  10518  maxabslemlub  10636
  Copyright terms: Public domain W3C validator