ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axltwlin GIF version

Theorem axltwlin 7457
Description: Real number less-than is weakly linear. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This restates ax-pre-ltwlin 7361 with ordering on the extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
axltwlin ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem axltwlin
StepHypRef Expression
1 ax-pre-ltwlin 7361 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
2 ltxrlt 7455 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
323adant3 959 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
4 ltxrlt 7455 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
543adant2 958 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
6 ltxrlt 7455 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵𝐶 < 𝐵))
76ancoms 264 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵𝐶 < 𝐵))
873adant1 957 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵𝐶 < 𝐵))
95, 8orbi12d 740 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
101, 3, 93imtr4d 201 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103  wo 662  w3a 920  wcel 1434   class class class wbr 3811  cr 7252   < cltrr 7257   < clt 7425
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-pre-ltwlin 7361
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4407  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-ltxr 7430
This theorem is referenced by:  ltso  7466  letr  7471  lelttr  7476  ltletr  7477  gt0add  7950  reapcotr  7975  xrltso  9161  rebtwn2zlemstep  9553  expnbnd  9912  leabs  10334  ltabs  10347  abslt  10348  absle  10349  maxabslemlub  10467
  Copyright terms: Public domain W3C validator