Theorem axltwlin 8387

Description: Real number less-than is weakly linear. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This restates ax-pre-ltwlin 8286 with ordering on the extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
axltwlin	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem axltwlin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pre-ltwlin 8286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 <ℝ 𝐵 → (𝐴 <ℝ 𝐶 ∨ 𝐶 <ℝ 𝐵)))
2		ltxrlt 8385	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐵))
3	2	3adant3 1048	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐵))
4		ltxrlt 8385	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐶))
5	4	3adant2 1047	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐶))
6		ltxrlt 8385	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ 𝐶 <ℝ 𝐵))
7	6	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ 𝐶 <ℝ 𝐵))
8	7	3adant1 1046	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ 𝐶 <ℝ 𝐵))
9	5, 8	orbi12d 805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐴 <ℝ 𝐶 ∨ 𝐶 <ℝ 𝐵)))
10	1, 3, 9	3imtr4d 203	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ℝcr 8172   <_ℝ cltrr 8177   < clt 8354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-pre-ltwlin 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359

This theorem is referenced by:  ltso  8397  letr  8402  lelttr  8408  ltletr  8409  gt0add  8895  reapcotr  8920  sup3exmid  9281  xrltso  10181  rebtwn2zlemstep  10670  resq01  11078  expnbnd  11084  leabs  11823  ltabs  11836  abslt  11837  absle  11838  maxabslemlub  11956  suplociccreex  15708  ivthinclemloc  15725  ivthdichlem  15735  cnplimclemle  15752  reeff1o  15857  efltlemlt  15858  sin0pilem2  15866  coseq0negpitopi  15920  cos02pilt1  15935