Theorem lttr 8119

Description: Alias for axlttrn 8114, for naming consistency with lttri 8150. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 8012. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 8114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7897   < clt 8080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-pre-lttrn 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085

This theorem is referenced by:  ltso  8123  ltleletr  8127  ltnsym  8131  lttri  8150  lttrd  8171  lt2add  8491  lt2sub  8506  mulgt1  8909  recgt1i  8944  recreclt  8946  nnge1  9032  recnz  9438  gtndiv  9440  xrlttr  9889  fzo1fzo0n0  10278  seqf1oglem1  10630  expnbnd  10774  expnlbnd  10775  sin01gt0  11946  cos01gt0  11947  p1modz1  11978  ltoddhalfle  12077  nno  12090  dvdsnprmd  12320  reeff1olem  15115  logdivlti  15225  lgsquadlem2  15427