Theorem lttr 8352

Description: Alias for axlttrn 8347, for naming consistency with lttri 8383. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 8246. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 8347	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  ℝcr 8131   < clt 8313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-pre-lttrn 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318

This theorem is referenced by:  ltso  8356  ltleletr  8360  ltnsym  8364  lttri  8383  lttrd  8404  lt2add  8724  lt2sub  8739  mulgt1  9142  recgt1i  9177  recreclt  9179  nnge1  9265  recnz  9677  gtndiv  9679  xrlttr  10134  fzo1fzo0n0  10529  seqf1oglem1  10888  expnbnd  11033  expnlbnd  11034  sin01gt0  12456  cos01gt0  12457  p1modz1  12488  ltoddhalfle  12587  nno  12600  dvdsnprmd  12830  reeff1olem  15685  logdivlti  15795  lgsquadlem2  16000  clwwlknonex2lem2  16482