Theorem lttr 8393

Description: Alias for axlttrn 8388, for naming consistency with lttri 8424. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 8287. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 8388	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ℝcr 8172   < clt 8354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-pre-lttrn 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359

This theorem is referenced by:  ltso  8397  ltleletr  8401  ltnsym  8405  lttri  8424  lttrd  8446  lt2add  8767  lt2sub  8782  mulgt1  9187  recgt1i  9222  recreclt  9224  nnge1  9310  recnz  9722  gtndiv  9724  xrlttr  10180  fzo1fzo0n0  10578  seqf1oglem1  10939  expnbnd  11084  expnlbnd  11085  sin01gt0  12512  cos01gt0  12513  p1modz1  12544  ltoddhalfle  12643  nno  12656  dvdsnprmd  12886  reeff1olem  15855  logdivlti  15965  lgsquadlem2  16180  clwwlknonex2lem2  16662