Theorem lttr 8406

Description: Alias for axlttrn 8401, for naming consistency with lttri 8438. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 8300. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 8401	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℝcr 8185   < clt 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-pre-lttrn 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372

This theorem is used by:  ltso  8410  ltleletr  8414  ltnsym  8418  lttri  8438  lttrd  8460  lt2add  8781  lt2sub  8796  mulgt1  9202  recgt1i  9237  recreclt  9239  nnge1  9337  recnz  9751  gtndiv  9753  xrlttr  10215  fzo1fzo0n0  10613  seqf1oglem1  10978  expnbnd  11123  expnlbnd  11124  sin01gt0  12555  cos01gt0  12556  p1modz1  12587  ltoddhalfle  12686  nno  12699  dvdsnprmd  12929  reeff1olem  16009  logdivlti  16123  chtqub  16308  bclbnd  16319  bposlem1  16323  lgsquadlem2  16414  clwwlknonex2lem2  16896