Theorem issref 4980

Description: Two ways to state a relation is reflexive. Adapted from Tarski. (Contributed by FL, 15-Jan-2012.) (Revised by NM, 30-Mar-2016.)

Assertion

Ref	Expression
issref	⊢ (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem issref

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2447	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥𝑅𝑥))
2		vex 2724	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		opelresi 4889	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
5		df-br 3977	. . . . 5 ⊢ (𝑥𝑅𝑥 ↔ ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)
6	5	bicomi 131	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅 ↔ 𝑥𝑅𝑥)
7	4, 6	imbi12i 238	. . 3 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥𝑅𝑥))
8	7	albii 1457	. 2 ⊢ (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥𝑅𝑥))
9		ralidm 3504	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
10		ralv 2738	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
11	9, 10	bitri 183	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
12		df-ral 2447	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)))
13		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)))
14		opelresg 4885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
15		df-br 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 I 𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I )
16		vex 2724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑧 ∈ V
17	16	ideq 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 I 𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧)
18		opelresi 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
19		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
20		opeq2 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑥⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩)
21	20	eleq1d 2233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
22	21	biimpcd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅 → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
23	19, 22	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
24	18, 23	syl6bir 163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))))
25	24	pm2.43i 49	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
26	25	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
27	17, 26	sylbi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 I 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
28	15, 27	sylbir 134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
29	28	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
30	14, 29	syl6bi 162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
31	30	com3r 79	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑧 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
32	31	ralrimiv 2536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
33	13, 32	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
34	2, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
35	34	sps 1524	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
36	12, 35	sylbi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
37	36	ralimi 2527	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥 ∈ V ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
38		eleq1 2227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴)))
39		eleq1 2227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → (𝑦 ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
40	38, 39	imbi12d 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → ((𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
41	40	ralxp 4741	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ V ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
42	37, 41	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
43		df-ral 2447	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅)))
44		relres 4906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel ( I ↾ 𝐴)
45		df-rel 4605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rel ( I ↾ 𝐴) ↔ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (V × V))
46	44, 45	mpbi 144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (V × V)
47	46	sseli 3133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ (V × V))
48	47	ancri 322	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → (𝑦 ∈ (V × V) ∧ 𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴)))
49		pm3.31 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅)) → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ 𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝑅))
50	48, 49	syl5 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅)) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
51	50	alimi 1442	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅)) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
52	43, 51	sylbi 120	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
53	42, 52	syl 14	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
54	11, 53	sylbir 134	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
55		dfss2 3126	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
56	54, 55	sylibr 133	. . 3 ⊢ (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅)
57		ssel 3131	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
58	57	alrimiv 1861	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 → ∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
59	56, 58	impbii 125	. 2 ⊢ (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅)
60	1, 8, 59	3bitr2ri 208	1 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1340   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  ∀wral 2442  Vcvv 2721   ⊆ wss 3111  ⟨cop 3573   class class class wbr 3976   I cid 4260   × cxp 4596   ↾ cres 4600  Rel wrel 4603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-res 4610

This theorem is referenced by: (None)