Theorem issref 5052

Description: Two ways to state a relation is reflexive. Adapted from Tarski. (Contributed by FL, 15-Jan-2012.) (Revised by NM, 30-Mar-2016.)

Assertion

Ref	Expression
issref	⊢ (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem issref

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2480	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥𝑅𝑥))
2		vex 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		opelresi 4957	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
5		df-br 4034	. . . . 5 ⊢ (𝑥𝑅𝑥 ↔ ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)
6	5	bicomi 132	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅 ↔ 𝑥𝑅𝑥)
7	4, 6	imbi12i 239	. . 3 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥𝑅𝑥))
8	7	albii 1484	. 2 ⊢ (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥𝑅𝑥))
9		ralidm 3551	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
10		ralv 2780	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
11	9, 10	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
12		df-ral 2480	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)))
13		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)))
14		opelresg 4953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
15		df-br 4034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 I 𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I )
16		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑧 ∈ V
17	16	ideq 4818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 I 𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧)
18		opelresi 4957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
19		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
20		opeq2 3809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑥⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩)
21	20	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
22	21	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅 → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
23	19, 22	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
24	18, 23	biimtrrdi 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))))
25	24	pm2.43i 49	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
26	25	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
27	17, 26	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 I 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
28	15, 27	sylbir 135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
29	28	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
30	14, 29	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
31	30	com3r 79	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑧 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
32	31	ralrimiv 2569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
33	13, 32	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
34	2, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
35	34	sps 1551	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
36	12, 35	sylbi 121	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
37	36	ralimi 2560	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥 ∈ V ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
38		eleq1 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴)))
39		eleq1 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → (𝑦 ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
40	38, 39	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → ((𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
41	40	ralxp 4809	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ V ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
42	37, 41	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
43		df-ral 2480	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅)))
44		relres 4974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel ( I ↾ 𝐴)
45		df-rel 4670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rel ( I ↾ 𝐴) ↔ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (V × V))
46	44, 45	mpbi 145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (V × V)
47	46	sseli 3179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ (V × V))
48	47	ancri 324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → (𝑦 ∈ (V × V) ∧ 𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴)))
49		pm3.31 262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅)) → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ 𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝑅))
50	48, 49	syl5 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅)) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
51	50	alimi 1469	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅)) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
52	43, 51	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
53	42, 52	syl 14	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
54	11, 53	sylbir 135	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
55		dfss2 3172	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
56	54, 55	sylibr 134	. . 3 ⊢ (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅)
57		ssel 3177	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
58	57	alrimiv 1888	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 → ∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
59	56, 58	impbii 126	. 2 ⊢ (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅)
60	1, 8, 59	3bitr2ri 209	1 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1362   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  ⟨cop 3625   class class class wbr 4033   I cid 4323   × cxp 4661   ↾ cres 4665  Rel wrel 4668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-res 4675

This theorem is referenced by: (None)