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Theorem issref 5029
Description: Two ways to state a relation is reflexive. Adapted from Tarski. (Contributed by FL, 15-Jan-2012.) (Revised by NM, 30-Mar-2016.)
Assertion
Ref Expression
issref (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem issref
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ral 2473 . 2 (∀𝑥𝐴 𝑥𝑅𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑅𝑥))
2 vex 2755 . . . . 5 𝑥 ∈ V
3 opelresi 4936 . . . . 5 (𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ 𝑥𝐴))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ 𝑥𝐴)
5 df-br 4019 . . . . 5 (𝑥𝑅𝑥 ↔ ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)
65bicomi 132 . . . 4 (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅𝑥𝑅𝑥)
74, 6imbi12i 239 . . 3 ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑥))
87albii 1481 . 2 (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑅𝑥))
9 ralidm 3538 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
10 ralv 2769 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
119, 10bitri 184 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
12 df-ral 2473 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)))
13 pm2.27 40 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ V → ((𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)))
14 opelresg 4932 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I ∧ 𝑥𝐴)))
15 df-br 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 I 𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I )
16 vex 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 ∈ V
1716ideq 4797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 I 𝑧𝑥 = 𝑧)
18 opelresi 4936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝐴 → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ 𝑥𝐴))
19 pm2.27 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
20 opeq2 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑥⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩)
2120eleq1d 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
2221biimpcd 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅 → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
2319, 22syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
2418, 23biimtrrdi 164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐴 → (𝑥𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))))
2524pm2.43i 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
2625com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
2717, 26sylbi 121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 I 𝑧 → (𝑥𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
2815, 27sylbir 135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I → (𝑥𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
2928imp 124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I ∧ 𝑥𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
3014, 29biimtrdi 163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
3130com3r 79 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑧 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
3231ralrimiv 2562 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
3313, 32syl6 33 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ V → ((𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
342, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
3534sps 1548 . . . . . . . . 9 (∀𝑥(𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
3612, 35sylbi 121 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
3736ralimi 2553 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥 ∈ V ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
38 eleq1 2252 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴)))
39 eleq1 2252 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → (𝑦𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
4038, 39imbi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑦 = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → ((𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
4140ralxp 4788 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ V ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
4237, 41sylibr 134 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅))
43 df-ral 2473 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅)))
44 relres 4953 . . . . . . . . . . . 12 Rel ( I ↾ 𝐴)
45 df-rel 4651 . . . . . . . . . . . 12 (Rel ( I ↾ 𝐴) ↔ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (V × V))
4644, 45mpbi 145 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ 𝐴) ⊆ (V × V)
4746sseli 3166 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ (V × V))
4847ancri 324 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → (𝑦 ∈ (V × V) ∧ 𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴)))
49 pm3.31 262 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅)) → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ 𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴)) → 𝑦𝑅))
5048, 49syl5 32 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅)) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅))
5150alimi 1466 . . . . . . 7 (∀𝑦(𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅)) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅))
5243, 51sylbi 121 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅))
5342, 52syl 14 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅))
5411, 53sylbir 135 . . . 4 (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅))
55 dfss2 3159 . . . 4 (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅))
5654, 55sylibr 134 . . 3 (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅)
57 ssel 3164 . . . 4 (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
5857alrimiv 1885 . . 3 (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 → ∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
5956, 58impbii 126 . 2 (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅)
601, 8, 593bitr2ri 209 1 (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑅𝑥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wal 1362   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  Vcvv 2752  wss 3144  cop 3610   class class class wbr 4018   I cid 4306   × cxp 4642  cres 4646  Rel wrel 4649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-res 4656
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