Theorem issref 4993

Description: Two ways to state a relation is reflexive. Adapted from Tarski. (Contributed by FL, 15-Jan-2012.) (Revised by NM, 30-Mar-2016.)

Assertion

Ref	Expression
issref	⊢ (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem issref

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2453	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥𝑅𝑥))
2		vex 2733	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		opelresi 4902	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
5		df-br 3990	. . . . 5 ⊢ (𝑥𝑅𝑥 ↔ ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)
6	5	bicomi 131	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅 ↔ 𝑥𝑅𝑥)
7	4, 6	imbi12i 238	. . 3 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥𝑅𝑥))
8	7	albii 1463	. 2 ⊢ (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥𝑅𝑥))
9		ralidm 3515	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
10		ralv 2747	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
11	9, 10	bitri 183	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
12		df-ral 2453	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)))
13		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)))
14		opelresg 4898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
15		df-br 3990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 I 𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I )
16		vex 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑧 ∈ V
17	16	ideq 4763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 I 𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧)
18		opelresi 4902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
19		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
20		opeq2 3766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑥⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩)
21	20	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
22	21	biimpcd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅 → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
23	19, 22	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
24	18, 23	syl6bir 163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))))
25	24	pm2.43i 49	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
26	25	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
27	17, 26	sylbi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 I 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
28	15, 27	sylbir 134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
29	28	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
30	14, 29	syl6bi 162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
31	30	com3r 79	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑧 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
32	31	ralrimiv 2542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
33	13, 32	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
34	2, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
35	34	sps 1530	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
36	12, 35	sylbi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
37	36	ralimi 2533	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥 ∈ V ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
38		eleq1 2233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴)))
39		eleq1 2233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → (𝑦 ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
40	38, 39	imbi12d 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → ((𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
41	40	ralxp 4754	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ V ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
42	37, 41	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
43		df-ral 2453	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅)))
44		relres 4919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel ( I ↾ 𝐴)
45		df-rel 4618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rel ( I ↾ 𝐴) ↔ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (V × V))
46	44, 45	mpbi 144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (V × V)
47	46	sseli 3143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ (V × V))
48	47	ancri 322	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → (𝑦 ∈ (V × V) ∧ 𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴)))
49		pm3.31 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅)) → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ 𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝑅))
50	48, 49	syl5 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅)) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
51	50	alimi 1448	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅)) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
52	43, 51	sylbi 120	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
53	42, 52	syl 14	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
54	11, 53	sylbir 134	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
55		dfss2 3136	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑅))
56	54, 55	sylibr 133	. . 3 ⊢ (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅)
57		ssel 3141	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
58	57	alrimiv 1867	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 → ∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
59	56, 58	impbii 125	. 2 ⊢ (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅)
60	1, 8, 59	3bitr2ri 208	1 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1346   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  Vcvv 2730   ⊆ wss 3121  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989   I cid 4273   × cxp 4609   ↾ cres 4613  Rel wrel 4616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-res 4623

This theorem is referenced by: (None)