Theorem dfdec10 9614

Description: Version of the definition of the "decimal constructor" using ;10 instead of the symbol 10. Of course, this statement cannot be used as definition, because it uses the "decimal constructor". (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdec10	⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)

Proof of Theorem dfdec10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9612	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9p1e10 9613	. . . 4 ⊢ (9 + 1) = ;10
3	2	oveq1i 6028	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 𝐴) = (;10 · 𝐴)
4	3	oveq1i 6028	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
5	1, 4	eqtri 2252	1 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1397  (class class class)co 6018  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037  9c9 9201  ;cdc 9611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-dec 9612

This theorem is referenced by:  decnncl  9630  dec0u  9631  dec0h  9632  decnncl2  9634  declt  9638  decltc  9639  decsuc  9641  decle  9644  declti  9648  decsucc  9651  dec10p  9653  decma  9661  decmac  9662  decma2c  9663  decadd  9664  decaddc  9665  decsubi  9673  decmul1  9674  decmul1c  9675  decmul2c  9676  decmul10add  9679  5t5e25  9713  6t6e36  9718  8t6e48  9729  9t11e99  9740  3dec  10977  3dvdsdec  12444  dec2dvds  13002  dec5dvds  13003  dec5nprm  13005  dec2nprm  13006  decsplit1  13019  decsplit  13020