Theorem 3dec 10806

Description: A "decimal constructor" which is used to build up "decimal integers" or "numeric terms" in base 10 with 3 "digits". (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dec.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3dec.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
3dec	⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)

Proof of Theorem 3dec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9460	. 2 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶)
2		dfdec10 9460	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
3	2	oveq2i 5933	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵))
4		1nn 9001	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	4	decnncl2 9480	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
6	5	nncni 9000	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
7		3dec.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 9261	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9	6, 8	mulcli 8031	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
10		3dec.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 9261	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
12	6, 9, 11	adddii 8036	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵))
13	3, 12	eqtri 2217	. . . 4 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵))
14	6, 6, 8	mulassi 8035	. . . . . . 7 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;10 · (;10 · 𝐴))
15	14	eqcomi 2200	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (;10 · 𝐴)) = ((;10 · ;10) · 𝐴)
16	6	sqvali 10711	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑2) = (;10 · ;10)
17	16	eqcomi 2200	. . . . . . 7 ⊢ (;10 · ;10) = (;10↑2)
18	17	oveq1i 5932	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = ((;10↑2) · 𝐴)
19	15, 18	eqtri 2217	. . . . 5 ⊢ (;10 · (;10 · 𝐴)) = ((;10↑2) · 𝐴)
20	19	oveq1i 5932	. . . 4 ⊢ ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵)) = (((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
21	13, 20	eqtri 2217	. . 3 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = (((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
22	21	oveq1i 5932	. 2 ⊢ ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶) = ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)
23	1, 22	eqtri 2217	1 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884  2c2 9041  ℕ₀cn0 9249  ;cdc 9457  ↑cexp 10630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-seqfrec 10540  df-exp 10631

This theorem is referenced by:  3dvds2dec  12031