Theorem 3dec 10696

Description: A "decimal constructor" which is used to build up "decimal integers" or "numeric terms" in base 10 with 3 "digits". (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dec.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3dec.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
3dec	⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)

Proof of Theorem 3dec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9389	. 2 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶)
2		dfdec10 9389	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
3	2	oveq2i 5888	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵))
4		1nn 8932	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	4	decnncl2 9409	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
6	5	nncni 8931	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
7		3dec.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 9190	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9	6, 8	mulcli 7964	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
10		3dec.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 9190	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
12	6, 9, 11	adddii 7969	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵))
13	3, 12	eqtri 2198	. . . 4 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵))
14	6, 6, 8	mulassi 7968	. . . . . . 7 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;10 · (;10 · 𝐴))
15	14	eqcomi 2181	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (;10 · 𝐴)) = ((;10 · ;10) · 𝐴)
16	6	sqvali 10602	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑2) = (;10 · ;10)
17	16	eqcomi 2181	. . . . . . 7 ⊢ (;10 · ;10) = (;10↑2)
18	17	oveq1i 5887	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = ((;10↑2) · 𝐴)
19	15, 18	eqtri 2198	. . . . 5 ⊢ (;10 · (;10 · 𝐴)) = ((;10↑2) · 𝐴)
20	19	oveq1i 5887	. . . 4 ⊢ ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵)) = (((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
21	13, 20	eqtri 2198	. . 3 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = (((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
22	21	oveq1i 5887	. 2 ⊢ ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶) = ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)
23	1, 22	eqtri 2198	1 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818  2c2 8972  ℕ₀cn0 9178  ;cdc 9386  ↑cexp 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-n0 9179  df-z 9256  df-dec 9387  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-exp 10522

This theorem is referenced by:  3dvds2dec  11873