ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3dec GIF version

Theorem 3dec 10119
Description: A "decimal constructor" which is used to build up "decimal integers" or "numeric terms" in base 10 with 3 "digits". (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3dec.a 𝐴 ∈ ℕ0
3dec.b 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
3dec 𝐴𝐵𝐶 = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)

Proof of Theorem 3dec
StepHypRef Expression
1 dfdec10 8878 . 2 𝐴𝐵𝐶 = ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶)
2 dfdec10 8878 . . . . . 6 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
32oveq2i 5663 . . . . 5 (10 · 𝐴𝐵) = (10 · ((10 · 𝐴) + 𝐵))
4 1nn 8431 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
54decnncl2 8898 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ
65nncni 8430 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
7 3dec.a . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
87nn0cni 8683 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
96, 8mulcli 7491 . . . . . 6 (10 · 𝐴) ∈ ℂ
10 3dec.b . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
1110nn0cni 8683 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
126, 9, 11adddii 7496 . . . . 5 (10 · ((10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵))
133, 12eqtri 2108 . . . 4 (10 · 𝐴𝐵) = ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵))
146, 6, 8mulassi 7495 . . . . . . 7 ((10 · 10) · 𝐴) = (10 · (10 · 𝐴))
1514eqcomi 2092 . . . . . 6 (10 · (10 · 𝐴)) = ((10 · 10) · 𝐴)
166sqvali 10030 . . . . . . . 8 (10↑2) = (10 · 10)
1716eqcomi 2092 . . . . . . 7 (10 · 10) = (10↑2)
1817oveq1i 5662 . . . . . 6 ((10 · 10) · 𝐴) = ((10↑2) · 𝐴)
1915, 18eqtri 2108 . . . . 5 (10 · (10 · 𝐴)) = ((10↑2) · 𝐴)
2019oveq1i 5662 . . . 4 ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵)) = (((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵))
2113, 20eqtri 2108 . . 3 (10 · 𝐴𝐵) = (((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵))
2221oveq1i 5662 . 2 ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶) = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
231, 22eqtri 2108 1 𝐴𝐵𝐶 = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1289  wcel 1438  (class class class)co 5652  0cc0 7348  1c1 7349   + caddc 7351   · cmul 7353  2c2 8471  0cn0 8671  cdc 8875  cexp 9950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-5 8482  df-6 8483  df-7 8484  df-8 8485  df-9 8486  df-n0 8672  df-z 8749  df-dec 8876  df-uz 9018  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951
This theorem is referenced by:  3dvds2dec  11140
  Copyright terms: Public domain W3C validator