ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numlt GIF version

Theorem numlt 9433
Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numlt.1 𝑇 ∈ ℕ
numlt.2 𝐴 ∈ ℕ0
numlt.3 𝐵 ∈ ℕ0
numlt.4 𝐶 ∈ ℕ
numlt.5 𝐵 < 𝐶
Assertion
Ref Expression
numlt ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)

Proof of Theorem numlt
StepHypRef Expression
1 numlt.5 . 2 𝐵 < 𝐶
2 numlt.3 . . . 4 𝐵 ∈ ℕ0
32nn0rei 9212 . . 3 𝐵 ∈ ℝ
4 numlt.4 . . . 4 𝐶 ∈ ℕ
54nnrei 8953 . . 3 𝐶 ∈ ℝ
6 numlt.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ ℕ
76nnnn0i 9209 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
8 numlt.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
97, 8nn0mulcli 9239 . . . 4 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ0
109nn0rei 9212 . . 3 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ
113, 5, 10ltadd2i 8402 . 2 (𝐵 < 𝐶 ↔ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶))
121, 11mpbi 145 1 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892   + caddc 7839   · cmul 7841   < clt 8017  cn 8944  0cn0 9201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-cnre 7947  ax-pre-ltadd 7952
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-ltxr 8022  df-sub 8155  df-inn 8945  df-n0 9202
This theorem is referenced by:  numltc  9434  declt  9436
  Copyright terms: Public domain W3C validator