ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numlt GIF version

Theorem numlt 8891
Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numlt.1 𝑇 ∈ ℕ
numlt.2 𝐴 ∈ ℕ0
numlt.3 𝐵 ∈ ℕ0
numlt.4 𝐶 ∈ ℕ
numlt.5 𝐵 < 𝐶
Assertion
Ref Expression
numlt ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)

Proof of Theorem numlt
StepHypRef Expression
1 numlt.5 . 2 𝐵 < 𝐶
2 numlt.3 . . . 4 𝐵 ∈ ℕ0
32nn0rei 8674 . . 3 𝐵 ∈ ℝ
4 numlt.4 . . . 4 𝐶 ∈ ℕ
54nnrei 8421 . . 3 𝐶 ∈ ℝ
6 numlt.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ ℕ
76nnnn0i 8671 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
8 numlt.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
97, 8nn0mulcli 8701 . . . 4 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ0
109nn0rei 8674 . . 3 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ
113, 5, 10ltadd2i 7888 . 2 (𝐵 < 𝐶 ↔ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶))
121, 11mpbi 143 1 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1438   class class class wbr 3843  (class class class)co 5644   + caddc 7343   · cmul 7345   < clt 7512  cn 8412  0cn0 8663
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-mulass 7438  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-1rid 7442  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446  ax-pre-ltadd 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-br 3844  df-opab 3898  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-ltxr 7517  df-sub 7645  df-inn 8413  df-n0 8664
This theorem is referenced by:  numltc  8892  declt  8894
  Copyright terms: Public domain W3C validator