Theorem numlt 9634

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numlt.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ
numlt.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numlt.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numlt.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ
numlt.5	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
numlt	⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)

Proof of Theorem numlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numlt.5	. 2 ⊢ 𝐵 < 𝐶
2		numlt.3	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 9412	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		numlt.4	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
5	4	nnrei 9151	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
6		numlt.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ
7	6	nnnn0i 9409	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
8		numlt.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
9	7, 8	nn0mulcli 9439	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ0
10	9	nn0rei 9412	. . 3 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ
11	3, 5, 10	ltadd2i 8599	. 2 ⊢ (𝐵 < 𝐶 ↔ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶))
12	1, 11	mpbi 145	1 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   + caddc 8034   · cmul 8036   < clt 8213  ℕcn 9142  ℕ₀cn0 9401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-sub 8351  df-inn 9143  df-n0 9402

This theorem is referenced by:  numltc  9635  declt  9637