Theorem ivthinclemdisj 14203

Description: Lemma for ivthinc 14206. The lower and upper cuts are disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemdisj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑅) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑥,𝐴   𝑤,𝐵   𝑥,𝐵   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹   𝑤,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑤)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem ivthinclemdisj

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
2	1	eleq1d 2246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ))
3		ivth.8	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
4	3	ralrimiva 2550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
6		fveq2 5517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑧))
7	6	breq1d 4015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑧) < 𝑈))
8		ivthinclem.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
9	7, 8	elrab2 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐿 ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑧) < 𝑈))
10	9	biimpi 120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐿 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑧) < 𝑈))
11	10	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑧) < 𝑈))
12	11	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
13	2, 5, 12	rspcdva 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
14		ivth.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
15	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑈 ∈ ℝ)
16	11	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → (𝐹‘𝑧) < 𝑈)
17	13, 15, 16	ltnsymd 8079	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝑧))
18	17	intnand 931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑧)))
19	6	breq2d 4017	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑧)))
20		ivthinclem.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
21	19, 20	elrab2 2898	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑧)))
22	18, 21	sylnibr 677	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑅)
23	22	ralrimiva 2550	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 ¬ 𝑧 ∈ 𝑅)
24		disj 3473	. 2 ⊢ ((𝐿 ∩ 𝑅) = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐿 ¬ 𝑧 ∈ 𝑅)
25	23, 24	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  {crab 2459   ∩ cin 3130   ⊆ wss 3131  ∅c0 3424   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  ℝcr 7812   < clt 7994  [,]cicc 9893  –cn→ccncf 14142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-iota 5180  df-fv 5226  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  14205