Theorem ivthinclemdisj 13412

Description: Lemma for ivthinc 13415. The lower and upper cuts are disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemdisj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑅) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑥,𝐴   𝑤,𝐵   𝑥,𝐵   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹   𝑤,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑤)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem ivthinclemdisj

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
2	1	eleq1d 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ))
3		ivth.8	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
4	3	ralrimiva 2543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
5	4	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
6		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑧))
7	6	breq1d 3999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑧) < 𝑈))
8		ivthinclem.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
9	7, 8	elrab2 2889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐿 ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑧) < 𝑈))
10	9	biimpi 119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐿 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑧) < 𝑈))
11	10	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑧) < 𝑈))
12	11	simpld 111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
13	2, 5, 12	rspcdva 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
14		ivth.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
15	14	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑈 ∈ ℝ)
16	11	simprd 113	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → (𝐹‘𝑧) < 𝑈)
17	13, 15, 16	ltnsymd 8039	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝑧))
18	17	intnand 926	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑧)))
19	6	breq2d 4001	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑧)))
20		ivthinclem.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
21	19, 20	elrab2 2889	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑧)))
22	18, 21	sylnibr 672	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑅)
23	22	ralrimiva 2543	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 ¬ 𝑧 ∈ 𝑅)
24		disj 3463	. 2 ⊢ ((𝐿 ∩ 𝑅) = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐿 ¬ 𝑧 ∈ 𝑅)
25	23, 24	sylibr 133	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  {crab 2452   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773   < clt 7954  [,]cicc 9848  –cn→ccncf 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-iota 5160  df-fv 5206  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  13414