ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ivthinclemdisj GIF version

Theorem ivthinclemdisj 13412
Description: Lemma for ivthinc 13415. The lower and upper cuts are disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
ivthinc.i (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
ivthinclem.l 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
Assertion
Ref Expression
ivthinclemdisj (𝜑 → (𝐿𝑅) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑥,𝐴   𝑤,𝐵   𝑥,𝐵   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹   𝑤,𝑈   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑤)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem ivthinclemdisj
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5496 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
21eleq1d 2239 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑧) ∈ ℝ))
3 ivth.8 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
43ralrimiva 2543 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
54adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐿) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
6 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑧 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑧))
76breq1d 3999 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹𝑧) < 𝑈))
8 ivthinclem.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
97, 8elrab2 2889 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐿 ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑈))
109biimpi 119 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐿 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑈))
1110adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐿) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑈))
1211simpld 111 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐿) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
132, 5, 12rspcdva 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐿) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
14 ivth.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
1514adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐿) → 𝑈 ∈ ℝ)
1611simprd 113 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐿) → (𝐹𝑧) < 𝑈)
1713, 15, 16ltnsymd 8039 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐿) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝑧))
1817intnand 926 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐿) → ¬ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹𝑧)))
196breq2d 4001 . . . . 5 (𝑤 = 𝑧 → (𝑈 < (𝐹𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹𝑧)))
20 ivthinclem.r . . . . 5 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
2119, 20elrab2 2889 . . . 4 (𝑧𝑅 ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹𝑧)))
2218, 21sylnibr 672 . . 3 ((𝜑𝑧𝐿) → ¬ 𝑧𝑅)
2322ralrimiva 2543 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝐿 ¬ 𝑧𝑅)
24 disj 3463 . 2 ((𝐿𝑅) = ∅ ↔ ∀𝑧𝐿 ¬ 𝑧𝑅)
2523, 24sylibr 133 1 (𝜑 → (𝐿𝑅) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  {crab 2452  cin 3120  wss 3121  c0 3414   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  cc 7772  cr 7773   < clt 7954  [,]cicc 9848  cnccncf 13351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-iota 5160  df-fv 5206  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960
This theorem is referenced by:  ivthinclemex  13414
  Copyright terms: Public domain W3C validator