Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ivthinclemdisj GIF version

Theorem ivthinclemdisj 12776
 Description: Lemma for ivthinc 12779. The lower and upper cuts are disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
ivthinc.i (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
ivthinclem.l 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
Assertion
Ref Expression
ivthinclemdisj (𝜑 → (𝐿𝑅) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑥,𝐴   𝑤,𝐵   𝑥,𝐵   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹   𝑤,𝑈   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑤)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem ivthinclemdisj
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5414 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
21eleq1d 2206 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑧) ∈ ℝ))
3 ivth.8 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
43ralrimiva 2503 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
54adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐿) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
6 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑧 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑧))
76breq1d 3934 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹𝑧) < 𝑈))
8 ivthinclem.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
97, 8elrab2 2838 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐿 ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑈))
109biimpi 119 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐿 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑈))
1110adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐿) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑈))
1211simpld 111 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐿) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
132, 5, 12rspcdva 2789 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐿) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
14 ivth.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
1514adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐿) → 𝑈 ∈ ℝ)
1611simprd 113 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐿) → (𝐹𝑧) < 𝑈)
1713, 15, 16ltnsymd 7875 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐿) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝑧))
1817intnand 916 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐿) → ¬ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹𝑧)))
196breq2d 3936 . . . . 5 (𝑤 = 𝑧 → (𝑈 < (𝐹𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹𝑧)))
20 ivthinclem.r . . . . 5 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
2119, 20elrab2 2838 . . . 4 (𝑧𝑅 ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹𝑧)))
2218, 21sylnibr 666 . . 3 ((𝜑𝑧𝐿) → ¬ 𝑧𝑅)
2322ralrimiva 2503 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝐿 ¬ 𝑧𝑅)
24 disj 3406 . 2 ((𝐿𝑅) = ∅ ↔ ∀𝑧𝐿 ¬ 𝑧𝑅)
2523, 24sylibr 133 1 (𝜑 → (𝐿𝑅) = ∅)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  {crab 2418   ∩ cin 3065   ⊆ wss 3066  ∅c0 3358   class class class wbr 3924  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  ℝcr 7612   < clt 7793  [,]cicc 9667  –cn→ccncf 12715 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-lttrn 7727 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-iota 5083  df-fv 5126  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799 This theorem is referenced by:  ivthinclemex  12778
 Copyright terms: Public domain W3C validator