Theorem ivthinclemdisj 14876

Description: Lemma for ivthinc 14879. The lower and upper cuts are disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemdisj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑅) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑥,𝐴   𝑤,𝐵   𝑥,𝐵   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹   𝑤,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑤)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem ivthinclemdisj

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
2	1	eleq1d 2265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ))
3		ivth.8	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
4	3	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
6		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑧))
7	6	breq1d 4043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑧) < 𝑈))
8		ivthinclem.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
9	7, 8	elrab2 2923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐿 ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑧) < 𝑈))
10	9	biimpi 120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐿 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑧) < 𝑈))
11	10	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑧) < 𝑈))
12	11	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
13	2, 5, 12	rspcdva 2873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
14		ivth.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
15	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑈 ∈ ℝ)
16	11	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → (𝐹‘𝑧) < 𝑈)
17	13, 15, 16	ltnsymd 8146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝑧))
18	17	intnand 932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑧)))
19	6	breq2d 4045	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑧)))
20		ivthinclem.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
21	19, 20	elrab2 2923	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑧)))
22	18, 21	sylnibr 678	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑅)
23	22	ralrimiva 2570	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 ¬ 𝑧 ∈ 𝑅)
24		disj 3499	. 2 ⊢ ((𝐿 ∩ 𝑅) = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐿 ¬ 𝑧 ∈ 𝑅)
25	23, 24	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {crab 2479   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157  ∅c0 3450   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878   < clt 8061  [,]cicc 9966  –cn→ccncf 14806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-iota 5219  df-fv 5266  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  14878