ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindicclemuub GIF version

Theorem dedekindicclemuub 12762
Description: Lemma for dedekindicc 12769. Any element of the upper cut is an upper bound for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss (𝜑𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss (𝜑𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
dedekindicc.um (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈)
dedekindicc.lr (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
dedekindicclemuub.u (𝜑𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemuub (𝜑 → ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐶,𝑞,𝑟,𝑧   𝐿,𝑞,𝑧   𝑈,𝑞,𝑧,𝑟   𝜑,𝑞,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑧,𝑞)   𝐵(𝑧,𝑞)   𝐿(𝑟)

Proof of Theorem dedekindicclemuub
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicclemuub.u . . 3 (𝜑𝐶𝑈)
2 eleq1 2200 . . . . 5 (𝑟 = 𝐶 → (𝑟𝑈𝐶𝑈))
3 breq2 3928 . . . . . 6 (𝑟 = 𝐶 → (𝑞 < 𝑟𝑞 < 𝐶))
43rexbidv 2436 . . . . 5 (𝑟 = 𝐶 → (∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝐶))
52, 4bibi12d 234 . . . 4 (𝑟 = 𝐶 → ((𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝐶𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝐶)))
6 dedekindicc.ur . . . 4 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
7 dedekindicc.uss . . . . 5 (𝜑𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
87, 1sseldd 3093 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
95, 6, 8rspcdva 2789 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝐶))
101, 9mpbid 146 . 2 (𝜑 → ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝐶)
11 dedekindicc.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
12 dedekindicc.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
13 iccssre 9731 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1411, 12, 13syl2anc 408 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1514ad2antrr 479 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
16 dedekindicc.lss . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
1716ad2antrr 479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
18 simpr 109 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑧𝐿)
1917, 18sseldd 3093 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2015, 19sseldd 3093 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑧 ∈ ℝ)
217ad2antrr 479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
22 simplrl 524 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑞𝑈)
2321, 22sseldd 3093 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2415, 23sseldd 3093 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑞 ∈ ℝ)
2514, 8sseldd 3093 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2625ad2antrr 479 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝐶 ∈ ℝ)
27 breq1 3927 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑞 → (𝑎 < 𝑧𝑞 < 𝑧))
2827rspcev 2784 . . . . . . . . 9 ((𝑞𝑈𝑞 < 𝑧) → ∃𝑎𝑈 𝑎 < 𝑧)
2922, 28sylan 281 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑎𝑈 𝑎 < 𝑧)
3027cbvrexv 2653 . . . . . . . 8 (∃𝑎𝑈 𝑎 < 𝑧 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑧)
3129, 30sylib 121 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑧)
32 eleq1 2200 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑧 → (𝑟𝑈𝑧𝑈))
33 breq2 3928 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑟𝑞 < 𝑧))
3433rexbidv 2436 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑧))
3532, 34bibi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑧 → ((𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝑧𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑧)))
366ad3antrrr 483 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
3719adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3835, 36, 37rspcdva 2789 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → (𝑧𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑧))
3931, 38mpbird 166 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧𝑈)
40 simplll 522 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝜑)
4118adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧𝐿)
42 dedekindicc.disj . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
43 disj 3406 . . . . . . . . 9 ((𝐿𝑈) = ∅ ↔ ∀𝑧𝐿 ¬ 𝑧𝑈)
4442, 43sylib 121 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧𝐿 ¬ 𝑧𝑈)
4544r19.21bi 2518 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐿) → ¬ 𝑧𝑈)
4640, 41, 45syl2anc 408 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ¬ 𝑧𝑈)
4739, 46pm2.65da 650 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) → ¬ 𝑞 < 𝑧)
4820, 24, 47nltled 7876 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑧𝑞)
49 simplrr 525 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑞 < 𝐶)
5020, 24, 26, 48, 49lelttrd 7880 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑧 < 𝐶)
5150ralrimiva 2503 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐶)) → ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝐶)
5210, 51rexlimddv 2552 1 (𝜑 → ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2414  wrex 2415  cin 3065  wss 3066  c0 3358   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  cr 7612   < clt 7793  [,]cicc 9667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-icc 9671
This theorem is referenced by:  dedekindicclemub  12763  dedekindicclemloc  12764
  Copyright terms: Public domain W3C validator