Theorem dedekindicclemuub 13398

Description: Lemma for dedekindicc 13405. Any element of the upper cut is an upper bound for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindicclemuub.u	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemuub	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐶,𝑞,𝑟,𝑧   𝐿,𝑞,𝑧   𝑈,𝑞,𝑧,𝑟   𝜑,𝑞,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑧,𝑞)   𝐵(𝑧,𝑞)   𝐿(𝑟)

Proof of Theorem dedekindicclemuub

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicclemuub.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
2		eleq1 2233	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐶 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
3		breq2 3993	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐶 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝑞 < 𝐶))
4	3	rexbidv 2471	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐶 → (∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐶))
5	2, 4	bibi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐶 → ((𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐶)))
6		dedekindicc.ur	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
7		dedekindicc.uss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
8	7, 1	sseldd 3148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9	5, 6, 8	rspcdva 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐶))
10	1, 9	mpbid 146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐶)
11		dedekindicc.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12		dedekindicc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
13		iccssre 9912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
15	14	ad2antrr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
16		dedekindicc.lss	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
17	16	ad2antrr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
18		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ∈ 𝐿)
19	17, 18	sseldd 3148	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
20	15, 19	sseldd 3148	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ∈ ℝ)
21	7	ad2antrr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
22		simplrl 530	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ 𝑈)
23	21, 22	sseldd 3148	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	15, 23	sseldd 3148	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ ℝ)
25	14, 8	sseldd 3148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
26	25	ad2antrr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝐶 ∈ ℝ)
27		breq1 3992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑞 → (𝑎 < 𝑧 ↔ 𝑞 < 𝑧))
28	27	rspcev 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑎 < 𝑧)
29	22, 28	sylan 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑎 < 𝑧)
30	27	cbvrexv 2697	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑎 < 𝑧 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧)
31	29, 30	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧)
32		eleq1 2233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝑧 ∈ 𝑈))
33		breq2 3993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝑞 < 𝑧))
34	33	rexbidv 2471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧))
35	32, 34	bibi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → ((𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧)))
36	6	ad3antrrr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
37	19	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
38	35, 36, 37	rspcdva 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧))
39	31, 38	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑈)
40		simplll 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝜑)
41	18	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐿)
42		dedekindicc.disj	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
43		disj 3463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∩ 𝑈) = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐿 ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
44	42, 43	sylib 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
45	44	r19.21bi 2558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
46	40, 41, 45	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
47	39, 46	pm2.65da 656	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑞 < 𝑧)
48	20, 24, 47	nltled 8040	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ≤ 𝑞)
49		simplrr 531	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 < 𝐶)
50	20, 24, 26, 48, 49	lelttrd 8044	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 < 𝐶)
51	50	ralrimiva 2543	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝐶)
52	10, 51	rexlimddv 2592	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℝcr 7773   < clt 7954  [,]cicc 9848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-icc 9852

This theorem is referenced by:  dedekindicclemub  13399  dedekindicclemloc  13400