Theorem dedekindicclemuub 14946

Description: Lemma for dedekindicc 14953. Any element of the upper cut is an upper bound for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindicclemuub.u	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemuub	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐶,𝑞,𝑟,𝑧   𝐿,𝑞,𝑧   𝑈,𝑞,𝑧,𝑟   𝜑,𝑞,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑧,𝑞)   𝐵(𝑧,𝑞)   𝐿(𝑟)

Proof of Theorem dedekindicclemuub

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicclemuub.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
2		eleq1 2259	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐶 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
3		breq2 4038	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐶 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝑞 < 𝐶))
4	3	rexbidv 2498	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐶 → (∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐶))
5	2, 4	bibi12d 235	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐶 → ((𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐶)))
6		dedekindicc.ur	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
7		dedekindicc.uss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
8	7, 1	sseldd 3185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9	5, 6, 8	rspcdva 2873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐶))
10	1, 9	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐶)
11		dedekindicc.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12		dedekindicc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
13		iccssre 10047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
15	14	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
16		dedekindicc.lss	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
17	16	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
18		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ∈ 𝐿)
19	17, 18	sseldd 3185	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
20	15, 19	sseldd 3185	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ∈ ℝ)
21	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
22		simplrl 535	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ 𝑈)
23	21, 22	sseldd 3185	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	15, 23	sseldd 3185	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ ℝ)
25	14, 8	sseldd 3185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
26	25	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝐶 ∈ ℝ)
27		breq1 4037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑞 → (𝑎 < 𝑧 ↔ 𝑞 < 𝑧))
28	27	rspcev 2868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑎 < 𝑧)
29	22, 28	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑎 < 𝑧)
30	27	cbvrexv 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑎 < 𝑧 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧)
31	29, 30	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧)
32		eleq1 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝑧 ∈ 𝑈))
33		breq2 4038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝑞 < 𝑧))
34	33	rexbidv 2498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧))
35	32, 34	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → ((𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧)))
36	6	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
37	19	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
38	35, 36, 37	rspcdva 2873	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧))
39	31, 38	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑈)
40		simplll 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝜑)
41	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐿)
42		dedekindicc.disj	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
43		disj 3500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∩ 𝑈) = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐿 ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
44	42, 43	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
45	44	r19.21bi 2585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
46	40, 41, 45	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
47	39, 46	pm2.65da 662	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑞 < 𝑧)
48	20, 24, 47	nltled 8164	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ≤ 𝑞)
49		simplrr 536	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 < 𝐶)
50	20, 24, 26, 48, 49	lelttrd 8168	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 < 𝐶)
51	50	ralrimiva 2570	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝐶)
52	10, 51	rexlimddv 2619	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157  ∅c0 3451   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7895   < clt 8078  [,]cicc 9983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-icc 9987

This theorem is referenced by:  dedekindicclemub  14947  dedekindicclemloc  14948