Theorem dedekindicclemlu 12816

Description: Lemma for dedekindicc 12819. There is a number which separates the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindicc.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemlu	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑥   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥   𝑈,𝑞,𝑟   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem dedekindicclemlu

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		dedekindicc.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		dedekindicc.lss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		dedekindicc.uss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5		dedekindicc.lm	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
6		dedekindicc.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
7		dedekindicc.lr	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
8		dedekindicc.ur	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
9		dedekindicc.disj	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
10		dedekindicc.loc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
11		dedekindicc.ab	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	dedekindicclemlub 12815	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧)))
13		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ 𝐿)
14	3	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
15	14, 13	sseldd 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16		rsp 2483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)))
17	7, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)))
18	17	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)))
19	15, 18	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
20	13, 19	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)
21		iccssre 9768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
22	1, 2, 21	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	ad4antr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
24	15	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	23, 24	sseldd 3103	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑞 ∈ ℝ)
26	3	ad4antr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
27		simprl 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑟 ∈ 𝐿)
28	26, 27	sseldd 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
29	23, 28	sseldd 3103	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
30		simp-4r 532	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
31	23, 30	sseldd 3103	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ ℝ)
32		simprr 522	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑞 < 𝑟)
33		breq2 3941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑟))
34	33	notbid 657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑟))
35		simprl 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) → ∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦)
36	35	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → ∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦)
37	34, 36, 27	rspcdva 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → ¬ 𝑥 < 𝑟)
38	29, 31, 37	nltled 7907	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑟 ≤ 𝑥)
39	25, 29, 31, 32, 38	ltletrd 8209	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑞 < 𝑥)
40	20, 39	rexlimddv 2557	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝑞 < 𝑥)
41	40	ralrimiva 2508	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) → ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥)
42		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) → 𝑟 ∈ 𝑈)
43		simplll 523	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) → 𝜑)
44	4	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
45	44, 42	sseldd 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
46		rsp 2483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟) → (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟)))
47	8, 46	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟)))
48	43, 45, 47	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
49	42, 48	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟)
50	22	ad4antr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
51		simp-4r 532	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
52	50, 51	sseldd 3103	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ ℝ)
53	4	ad4antr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
54		simprl 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑞 ∈ 𝑈)
55	53, 54	sseldd 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
56	50, 55	sseldd 3103	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑞 ∈ ℝ)
57	45	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
58	50, 57	sseldd 3103	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
59	54	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → 𝑞 ∈ 𝑈)
60	43	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → 𝜑)
61		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → 𝑞 < 𝑥)
62		breq1 3940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑞 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑞 < 𝑥))
63		breq1 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑞 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑞 < 𝑧))
64	63	rexbidv 2439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑞 → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑧))
65	62, 64	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑞 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑞 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑧)))
66		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))
67	66	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))
68	55	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
69	65, 67, 68	rspcdva 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → (𝑞 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑧))
70	61, 69	mpd 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑧)
71		breq2 3941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑧 ↔ 𝑞 < 𝑟))
72	71	cbvrexv 2658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑧 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)
73	70, 72	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)
74	60, 68, 17	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
75	73, 74	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → 𝑞 ∈ 𝐿)
76		disj 3416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∩ 𝑈) = ∅ ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐿 ¬ 𝑞 ∈ 𝑈)
77	9, 76	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝐿 ¬ 𝑞 ∈ 𝑈)
78	77	r19.21bi 2523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑞 ∈ 𝑈)
79	60, 75, 78	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → ¬ 𝑞 ∈ 𝑈)
80	59, 79	pm2.65da 651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → ¬ 𝑞 < 𝑥)
81	52, 56, 80	nltled 7907	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑥 ≤ 𝑞)
82		simprr 522	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑞 < 𝑟)
83	52, 56, 58, 81, 82	lelttrd 7911	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑥 < 𝑟)
84	49, 83	rexlimddv 2557	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) → 𝑥 < 𝑟)
85	84	ralrimiva 2508	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) → ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)
86	41, 85	jca 304	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
87	86	ex 114	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧)) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
88	87	reximdva 2537	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
89	12, 88	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418   ∩ cin 3075   ⊆ wss 3076  ∅c0 3368   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  ℝcr 7643   < clt 7824  [,]cicc 9704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764  ax-pre-suploc 7765

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-icc 9708  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803

This theorem is referenced by:  dedekindicclemicc  12818