Theorem dedekindicclemlu 15731

Description: Lemma for dedekindicc 15734. There is a number which separates the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindicc.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemlu	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑥   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥   𝑈,𝑞,𝑟   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem dedekindicclemlu

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		dedekindicc.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		dedekindicc.lss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		dedekindicc.uss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5		dedekindicc.lm	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
6		dedekindicc.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
7		dedekindicc.lr	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
8		dedekindicc.ur	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
9		dedekindicc.disj	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
10		dedekindicc.loc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
11		dedekindicc.ab	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	dedekindicclemlub 15730	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧)))
13		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ 𝐿)
14	3	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
15	14, 13	sseldd 3249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16		rsp 2597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)))
17	7, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)))
18	17	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)))
19	15, 18	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
20	13, 19	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)
21		iccssre 10357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
22	1, 2, 21	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	ad4antr 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
24	15	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	23, 24	sseldd 3249	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑞 ∈ ℝ)
26	3	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
27		simprl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑟 ∈ 𝐿)
28	26, 27	sseldd 3249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
29	23, 28	sseldd 3249	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
30		simp-4r 548	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
31	23, 30	sseldd 3249	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ ℝ)
32		simprr 537	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑞 < 𝑟)
33		breq2 4134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑟))
34	33	notbid 677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑟))
35		simprl 535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) → ∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦)
36	35	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → ∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦)
37	34, 36, 27	rspcdva 2934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → ¬ 𝑥 < 𝑟)
38	29, 31, 37	nltled 8447	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑟 ≤ 𝑥)
39	25, 29, 31, 32, 38	ltletrd 8751	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ (𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑞 < 𝑥)
40	20, 39	rexlimddv 2673	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝑞 < 𝑥)
41	40	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) → ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥)
42		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) → 𝑟 ∈ 𝑈)
43		simplll 539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) → 𝜑)
44	4	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
45	44, 42	sseldd 3249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
46		rsp 2597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟) → (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟)))
47	8, 46	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟)))
48	43, 45, 47	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
49	42, 48	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟)
50	22	ad4antr 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
51		simp-4r 548	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
52	50, 51	sseldd 3249	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ ℝ)
53	4	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
54		simprl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑞 ∈ 𝑈)
55	53, 54	sseldd 3249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
56	50, 55	sseldd 3249	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑞 ∈ ℝ)
57	45	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
58	50, 57	sseldd 3249	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
59	54	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → 𝑞 ∈ 𝑈)
60	43	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → 𝜑)
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → 𝑞 < 𝑥)
62		breq1 4133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑞 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑞 < 𝑥))
63		breq1 4133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑞 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑞 < 𝑧))
64	63	rexbidv 2551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑞 → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑧))
65	62, 64	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑞 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑞 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑧)))
66		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))
67	66	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))
68	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
69	65, 67, 68	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → (𝑞 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑧))
70	61, 69	mpd 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑧)
71		breq2 4134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑧 ↔ 𝑞 < 𝑟))
72	71	cbvrexv 2787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑧 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)
73	70, 72	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)
74	60, 68, 17	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
75	73, 74	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → 𝑞 ∈ 𝐿)
76		disj 3573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∩ 𝑈) = ∅ ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐿 ¬ 𝑞 ∈ 𝑈)
77	9, 76	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝐿 ¬ 𝑞 ∈ 𝑈)
78	77	r19.21bi 2638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑞 ∈ 𝑈)
79	60, 75, 78	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) ∧ 𝑞 < 𝑥) → ¬ 𝑞 ∈ 𝑈)
80	59, 79	pm2.65da 671	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → ¬ 𝑞 < 𝑥)
81	52, 56, 80	nltled 8447	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑥 ≤ 𝑞)
82		simprr 537	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑞 < 𝑟)
83	52, 56, 58, 81, 82	lelttrd 8451	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑟)) → 𝑥 < 𝑟)
84	49, 83	rexlimddv 2673	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈) → 𝑥 < 𝑟)
85	84	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) → ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)
86	41, 85	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
87	86	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧)) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
88	87	reximdva 2652	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
89	12, 88	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℝcr 8178   < clt 8360  [,]cicc 10293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-pre-suploc 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-icc 10297  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765

This theorem is used by:  dedekindicclemicc  15733