Theorem djulclALT 16829

Description: Shortening of djulcl 7391 using djucllem 16828. (Contributed by BJ, 4-Jul-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
djulclALT	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djulclALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4260	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		df-inl 7387	. . . . 5 ⊢ inl = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨∅, 𝑥⟩)
3	1, 2	djucllem 16828	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴))
4	3	orcd 745	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵)))
5		elun 3370	. . 3 ⊢ (((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ↔ (((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵)))
6	4, 5	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
7		df-dju 7378	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
8	6, 7	eleqtrrdi 2332	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 720   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  ∅c0 3520  {csn 3709   × cxp 4772   ↾ cres 4776  ‘cfv 5377  1_oc1o 6680   ⊔ cdju 7377  inlcinl 7385

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-dju 7378  df-inl 7387

This theorem is used by: (None)