Theorem djulclALT 15531

Description: Shortening of djulcl 7126 using djucllem 15530. (Contributed by BJ, 4-Jul-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
djulclALT	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djulclALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4161	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		df-inl 7122	. . . . 5 ⊢ inl = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨∅, 𝑥⟩)
3	1, 2	djucllem 15530	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴))
4	3	orcd 734	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵)))
5		elun 3305	. . 3 ⊢ (((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ↔ (((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵)))
6	4, 5	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
7		df-dju 7113	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
8	6, 7	eleqtrrdi 2290	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 709   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155  ∅c0 3451  {csn 3623   × cxp 4662   ↾ cres 4666  ‘cfv 5259  1_oc1o 6476   ⊔ cdju 7112  inlcinl 7120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-dju 7113  df-inl 7122

This theorem is referenced by: (None)