Theorem djulclALT 15363

Description: Shortening of djulcl 7112 using djucllem 15362. (Contributed by BJ, 4-Jul-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
djulclALT	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djulclALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4157	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		df-inl 7108	. . . . 5 ⊢ inl = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨∅, 𝑥⟩)
3	1, 2	djucllem 15362	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴))
4	3	orcd 734	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵)))
5		elun 3301	. . 3 ⊢ (((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ↔ (((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ ({1o} × 𝐵)))
6	4, 5	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
7		df-dju 7099	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
8	6, 7	eleqtrrdi 2287	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((inl ↾ 𝐴)‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 709   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3152  ∅c0 3447  {csn 3619   × cxp 4658   ↾ cres 4662  ‘cfv 5255  1_oc1o 6464   ⊔ cdju 7098  inlcinl 7106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-dju 7099  df-inl 7108

This theorem is referenced by: (None)