Theorem djulcl 7293

Description: Left closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djulcl	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djulcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2815	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V)
2		0ex 4221	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	snid 3704	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
4		opelxpi 4763	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ {∅} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
5	3, 4	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
6		opeq2 3868	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ⟨∅, 𝑥⟩ = ⟨∅, 𝐶⟩)
7		df-inl 7289	. . . 4 ⊢ inl = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨∅, 𝑥⟩)
8	6, 7	fvmptg 5731	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
9	1, 5, 8	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
10		elun1 3376	. . . 4 ⊢ (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
11	5, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
12		df-dju 7280	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
13	11, 12	eleqtrrdi 2325	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
14	9, 13	eqeltrd 2308	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ∪ cun 3199  ∅c0 3496  {csn 3673  ⟨cop 3676   × cxp 4729  ‘cfv 5333  1_oc1o 6618   ⊔ cdju 7279  inlcinl 7287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-dju 7280  df-inl 7289

This theorem is referenced by:  djulclb  7297  updjudhcoinlf  7322  omp1eomlem  7336  difinfsnlem  7341  difinfsn  7342  ctmlemr  7350  ctm  7351  ctssdclemn0  7352  ctssdccl  7353  fodju0  7389  exmidfodomrlemr  7456  exmidfodomrlemrALT  7457  subctctexmid  16705