Theorem djulcl 7117

Description: Left closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djulcl	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djulcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2774	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V)
2		0ex 4160	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	snid 3653	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
4		opelxpi 4695	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ {∅} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
5	3, 4	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
6		opeq2 3809	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ⟨∅, 𝑥⟩ = ⟨∅, 𝐶⟩)
7		df-inl 7113	. . . 4 ⊢ inl = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨∅, 𝑥⟩)
8	6, 7	fvmptg 5637	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
9	1, 5, 8	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
10		elun1 3330	. . . 4 ⊢ (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
11	5, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
12		df-dju 7104	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
13	11, 12	eleqtrrdi 2290	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
14	9, 13	eqeltrd 2273	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155  ∅c0 3450  {csn 3622  ⟨cop 3625   × cxp 4661  ‘cfv 5258  1_oc1o 6467   ⊔ cdju 7103  inlcinl 7111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-dju 7104  df-inl 7113

This theorem is referenced by:  djulclb  7121  updjudhcoinlf  7146  omp1eomlem  7160  difinfsnlem  7165  difinfsn  7166  ctmlemr  7174  ctm  7175  ctssdclemn0  7176  ctssdccl  7177  fodju0  7213  exmidfodomrlemr  7269  exmidfodomrlemrALT  7270  subctctexmid  15645