Theorem djulcl 6929

Description: Left closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djulcl	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djulcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2692	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V)
2		0ex 4050	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	snid 3551	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
4		opelxpi 4566	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ {∅} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
5	3, 4	mpan 420	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
6		opeq2 3701	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ⟨∅, 𝑥⟩ = ⟨∅, 𝐶⟩)
7		df-inl 6925	. . . 4 ⊢ inl = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨∅, 𝑥⟩)
8	6, 7	fvmptg 5490	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
9	1, 5, 8	syl2anc 408	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
10		elun1 3238	. . . 4 ⊢ (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
11	5, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
12		df-dju 6916	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
13	11, 12	eleqtrrdi 2231	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
14	9, 13	eqeltrd 2214	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681   ∪ cun 3064  ∅c0 3358  {csn 3522  ⟨cop 3525   × cxp 4532  ‘cfv 5118  1_oc1o 6299   ⊔ cdju 6915  inlcinl 6923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-dju 6916  df-inl 6925

This theorem is referenced by:  djulclb  6933  updjudhcoinlf  6958  omp1eomlem  6972  difinfsnlem  6977  difinfsn  6978  ctmlemr  6986  ctm  6987  ctssdclemn0  6988  ctssdccl  6989  fodju0  7012  exmidfodomrlemr  7051  exmidfodomrlemrALT  7052  subctctexmid  13185