Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | vex 2715 |
. . . . 5
⊢ 𝑦 ∈ V |
2 | 1 | opelres 4870 |
. . . 4
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ (𝐹 ↾ dom 𝐺) ↔ (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺)) |
3 | | ssel 3122 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹)) |
4 | | vex 2715 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑥 ∈ V |
5 | 4, 1 | opeldm 4788 |
. . . . . . . 8
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 → 𝑥 ∈ dom 𝐺) |
6 | 5 | a1i 9 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 → 𝑥 ∈ dom 𝐺)) |
7 | 3, 6 | jcad 305 |
. . . . . 6
⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺))) |
8 | 7 | adantl 275 |
. . . . 5
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺))) |
9 | | funeu2 5195 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹) → ∃!𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹) |
10 | 4 | eldm2 4783 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↔ ∃𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺) |
11 | 3 | ancrd 324 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺))) |
12 | 11 | eximdv 1860 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (∃𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 → ∃𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺))) |
13 | 10, 12 | syl5bi 151 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → ∃𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺))) |
14 | 13 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ∃𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) |
15 | | eupick 2085 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((∃!𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) |
16 | 9, 14, 15 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((Fun
𝐹 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺 ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺)) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) |
17 | 16 | exp43 370 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (Fun
𝐹 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → (𝐺 ⊆ 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺))))) |
18 | 17 | com23 78 |
. . . . . . . . 9
⊢ (Fun
𝐹 → (𝐺 ⊆ 𝐹 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺))))) |
19 | 18 | imp 123 |
. . . . . . . 8
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)))) |
20 | 19 | com34 83 |
. . . . . . 7
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)))) |
21 | 20 | pm2.43d 50 |
. . . . . 6
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺))) |
22 | 21 | impd 252 |
. . . . 5
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ((〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) |
23 | 8, 22 | impbid 128 |
. . . 4
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 ↔ (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺))) |
24 | 2, 23 | bitr4id 198 |
. . 3
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ (𝐹 ↾ dom 𝐺) ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) |
25 | 24 | alrimivv 1855 |
. 2
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ∀𝑥∀𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ (𝐹 ↾ dom 𝐺) ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) |
26 | | relres 4893 |
. . 3
⊢ Rel
(𝐹 ↾ dom 𝐺) |
27 | | funrel 5186 |
. . . 4
⊢ (Fun
𝐹 → Rel 𝐹) |
28 | | relss 4672 |
. . . 4
⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (Rel 𝐹 → Rel 𝐺)) |
29 | 27, 28 | mpan9 279 |
. . 3
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → Rel 𝐺) |
30 | | eqrel 4674 |
. . 3
⊢ ((Rel
(𝐹 ↾ dom 𝐺) ∧ Rel 𝐺) → ((𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺 ↔ ∀𝑥∀𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ (𝐹 ↾ dom 𝐺) ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺))) |
31 | 26, 29, 30 | sylancr 411 |
. 2
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ((𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺 ↔ ∀𝑥∀𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ (𝐹 ↾ dom 𝐺) ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺))) |
32 | 25, 31 | mpbird 166 |
1
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺) |