Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | df-rel 4610 |
. 2
⊢ (Rel
〈𝐴, 𝐵〉 ↔ 〈𝐴, 𝐵〉 ⊆ (V ×
V)) |
2 | | dfss2 3130 |
. . . . 5
⊢
(〈𝐴, 𝐵〉 ⊆ (V × V)
↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 〈𝐴, 𝐵〉 → 𝑧 ∈ (V × V))) |
3 | | vex 2728 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝑧 ∈ V |
4 | | relop.1 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐴 ∈ V |
5 | | relop.2 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐵 ∈ V |
6 | 3, 4, 5 | elop 4208 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 ∈ 〈𝐴, 𝐵〉 ↔ (𝑧 = {𝐴} ∨ 𝑧 = {𝐴, 𝐵})) |
7 | | elvv 4665 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 ∈ (V × V) ↔
∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) |
8 | 6, 7 | imbi12i 238 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ 〈𝐴, 𝐵〉 → 𝑧 ∈ (V × V)) ↔ ((𝑧 = {𝐴} ∨ 𝑧 = {𝐴, 𝐵}) → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
9 | | jaob 700 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑧 = {𝐴} ∨ 𝑧 = {𝐴, 𝐵}) → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) ↔ ((𝑧 = {𝐴} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) ∧ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉))) |
10 | 8, 9 | bitri 183 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ 〈𝐴, 𝐵〉 → 𝑧 ∈ (V × V)) ↔ ((𝑧 = {𝐴} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) ∧ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉))) |
11 | 10 | albii 1458 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑧(𝑧 ∈ 〈𝐴, 𝐵〉 → 𝑧 ∈ (V × V)) ↔ ∀𝑧((𝑧 = {𝐴} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) ∧ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉))) |
12 | | 19.26 1469 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑧((𝑧 = {𝐴} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) ∧ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉)) ↔ (∀𝑧(𝑧 = {𝐴} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) ∧ ∀𝑧(𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉))) |
13 | 11, 12 | bitri 183 |
. . . . 5
⊢
(∀𝑧(𝑧 ∈ 〈𝐴, 𝐵〉 → 𝑧 ∈ (V × V)) ↔ (∀𝑧(𝑧 = {𝐴} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) ∧ ∀𝑧(𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉))) |
14 | 2, 13 | bitri 183 |
. . . 4
⊢
(〈𝐴, 𝐵〉 ⊆ (V × V)
↔ (∀𝑧(𝑧 = {𝐴} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) ∧ ∀𝑧(𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉))) |
15 | 4 | snex 4163 |
. . . . . . 7
⊢ {𝐴} ∈ V |
16 | | eqeq1 2172 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = {𝐴} → (𝑧 = {𝐴} ↔ {𝐴} = {𝐴})) |
17 | | eqeq1 2172 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = {𝐴} → (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ {𝐴} = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
18 | | eqcom 2167 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ({𝐴} = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 = {𝐴}) |
19 | | vex 2728 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑥 ∈ V |
20 | | vex 2728 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑦 ∈ V |
21 | 19, 20, 4 | opeqsn 4229 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = {𝐴} ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 𝐴 = {𝑥})) |
22 | 18, 21 | bitri 183 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝐴} = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 𝐴 = {𝑥})) |
23 | 17, 22 | bitrdi 195 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = {𝐴} → (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 𝐴 = {𝑥}))) |
24 | 23 | 2exbidv 1856 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = {𝐴} → (∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝐴 = {𝑥}))) |
25 | 16, 24 | imbi12d 233 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑧 = {𝐴} → ((𝑧 = {𝐴} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) ↔ ({𝐴} = {𝐴} → ∃𝑥∃𝑦(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝐴 = {𝑥})))) |
26 | 15, 25 | spcv 2819 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑧(𝑧 = {𝐴} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) → ({𝐴} = {𝐴} → ∃𝑥∃𝑦(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝐴 = {𝑥}))) |
27 | | sneq 3586 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑤 = 𝑥 → {𝑤} = {𝑥}) |
28 | 27 | eqeq2d 2177 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐴 = {𝑤} ↔ 𝐴 = {𝑥})) |
29 | 28 | cbvexv 1906 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑤 𝐴 = {𝑤} ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥}) |
30 | | a9ev 1685 |
. . . . . . . . . 10
⊢
∃𝑦 𝑦 = 𝑥 |
31 | | equcom 1694 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦) |
32 | 31 | exbii 1593 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑦 𝑦 = 𝑥 ↔ ∃𝑦 𝑥 = 𝑦) |
33 | 30, 32 | mpbi 144 |
. . . . . . . . 9
⊢
∃𝑦 𝑥 = 𝑦 |
34 | | 19.41v 1890 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑦(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝐴 = {𝑥}) ↔ (∃𝑦 𝑥 = 𝑦 ∧ 𝐴 = {𝑥})) |
35 | 33, 34 | mpbiran 930 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑦(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝐴 = {𝑥}) ↔ 𝐴 = {𝑥}) |
36 | 35 | exbii 1593 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑥∃𝑦(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝐴 = {𝑥}) ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥}) |
37 | | eqid 2165 |
. . . . . . . 8
⊢ {𝐴} = {𝐴} |
38 | 37 | a1bi 242 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑥∃𝑦(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝐴 = {𝑥}) ↔ ({𝐴} = {𝐴} → ∃𝑥∃𝑦(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝐴 = {𝑥}))) |
39 | 29, 36, 38 | 3bitr2ri 208 |
. . . . . 6
⊢ (({𝐴} = {𝐴} → ∃𝑥∃𝑦(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝐴 = {𝑥})) ↔ ∃𝑤 𝐴 = {𝑤}) |
40 | 26, 39 | sylib 121 |
. . . . 5
⊢
(∀𝑧(𝑧 = {𝐴} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) → ∃𝑤 𝐴 = {𝑤}) |
41 | | eqid 2165 |
. . . . . 6
⊢ {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐵} |
42 | | prexg 4188 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ∈ V) |
43 | 4, 5, 42 | mp2an 423 |
. . . . . . 7
⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V |
44 | | eqeq1 2172 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (𝑧 = {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐵})) |
45 | | eqeq1 2172 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ {𝐴, 𝐵} = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
46 | 45 | 2exbidv 1856 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ ∃𝑥∃𝑦{𝐴, 𝐵} = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
47 | 44, 46 | imbi12d 233 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ((𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) ↔ ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐵} → ∃𝑥∃𝑦{𝐴, 𝐵} = 〈𝑥, 𝑦〉))) |
48 | 43, 47 | spcv 2819 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑧(𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐵} → ∃𝑥∃𝑦{𝐴, 𝐵} = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
49 | 41, 48 | mpi 15 |
. . . . 5
⊢
(∀𝑧(𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) → ∃𝑥∃𝑦{𝐴, 𝐵} = 〈𝑥, 𝑦〉) |
50 | | eqcom 2167 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝐴, 𝐵} = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 = {𝐴, 𝐵}) |
51 | 19, 20, 4, 5 | opeqpr 4230 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = {𝐴, 𝐵} ↔ ((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}) ∨ (𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐵 = {𝑥}))) |
52 | 50, 51 | bitri 183 |
. . . . . . . . 9
⊢ ({𝐴, 𝐵} = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ ((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}) ∨ (𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐵 = {𝑥}))) |
53 | | idd 21 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 = {𝑤} → ((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}) → (𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}))) |
54 | | eqtr2 2184 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 = {𝑤}) → {𝑥, 𝑦} = {𝑤}) |
55 | | vex 2728 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝑤 ∈ V |
56 | 19, 20, 55 | preqsn 3754 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝑥, 𝑦} = {𝑤} ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑤)) |
57 | 56 | simplbi 272 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ({𝑥, 𝑦} = {𝑤} → 𝑥 = 𝑦) |
58 | 54, 57 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 = {𝑤}) → 𝑥 = 𝑦) |
59 | | dfsn2 3589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ {𝑥} = {𝑥, 𝑥} |
60 | | preq2 3653 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥, 𝑥} = {𝑥, 𝑦}) |
61 | 59, 60 | eqtr2id 2211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥, 𝑦} = {𝑥}) |
62 | 61 | eqeq2d 2177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 = {𝑥, 𝑦} ↔ 𝐴 = {𝑥})) |
63 | 59, 60 | syl5eq 2210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑥, 𝑦}) |
64 | 63 | eqeq2d 2177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 = {𝑥} ↔ 𝐵 = {𝑥, 𝑦})) |
65 | 62, 64 | anbi12d 465 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐵 = {𝑥}) ↔ (𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}))) |
66 | 65 | biimpd 143 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐵 = {𝑥}) → (𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}))) |
67 | 66 | expd 256 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 = {𝑥, 𝑦} → (𝐵 = {𝑥} → (𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦})))) |
68 | 67 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 = {𝑥, 𝑦} → (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 = {𝑥} → (𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦})))) |
69 | 68 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 = {𝑤}) → (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 = {𝑥} → (𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦})))) |
70 | 58, 69 | mpd 13 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 = {𝑤}) → (𝐵 = {𝑥} → (𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}))) |
71 | 70 | expcom 115 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 = {𝑤} → (𝐴 = {𝑥, 𝑦} → (𝐵 = {𝑥} → (𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦})))) |
72 | 71 | impd 252 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 = {𝑤} → ((𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐵 = {𝑥}) → (𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}))) |
73 | 53, 72 | jaod 707 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 = {𝑤} → (((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}) ∨ (𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐵 = {𝑥})) → (𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}))) |
74 | 52, 73 | syl5bi 151 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 = {𝑤} → ({𝐴, 𝐵} = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}))) |
75 | 74 | 2eximdv 1870 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 = {𝑤} → (∃𝑥∃𝑦{𝐴, 𝐵} = 〈𝑥, 𝑦〉 → ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}))) |
76 | 75 | exlimiv 1586 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑤 𝐴 = {𝑤} → (∃𝑥∃𝑦{𝐴, 𝐵} = 〈𝑥, 𝑦〉 → ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}))) |
77 | 76 | imp 123 |
. . . . 5
⊢
((∃𝑤 𝐴 = {𝑤} ∧ ∃𝑥∃𝑦{𝐴, 𝐵} = 〈𝑥, 𝑦〉) → ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦})) |
78 | 40, 49, 77 | syl2an 287 |
. . . 4
⊢
((∀𝑧(𝑧 = {𝐴} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) ∧ ∀𝑧(𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉)) → ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦})) |
79 | 14, 78 | sylbi 120 |
. . 3
⊢
(〈𝐴, 𝐵〉 ⊆ (V × V)
→ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦})) |
80 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝑧 = {𝐴}) → 𝑧 = {𝐴}) |
81 | | equid 1689 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑥 = 𝑥 |
82 | 81 | jctl 312 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 = {𝑥} → (𝑥 = 𝑥 ∧ 𝐴 = {𝑥})) |
83 | 19, 19, 4 | opeqsn 4229 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(〈𝑥, 𝑥〉 = {𝐴} ↔ (𝑥 = 𝑥 ∧ 𝐴 = {𝑥})) |
84 | 82, 83 | sylibr 133 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 = {𝑥} → 〈𝑥, 𝑥〉 = {𝐴}) |
85 | 84 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝑧 = {𝐴}) → 〈𝑥, 𝑥〉 = {𝐴}) |
86 | 80, 85 | eqtr4d 2201 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝑧 = {𝐴}) → 𝑧 = 〈𝑥, 𝑥〉) |
87 | | opeq12 3759 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝑥) → 〈𝑤, 𝑣〉 = 〈𝑥, 𝑥〉) |
88 | 87 | eqeq2d 2177 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝑥) → (𝑧 = 〈𝑤, 𝑣〉 ↔ 𝑧 = 〈𝑥, 𝑥〉)) |
89 | 19, 19, 88 | spc2ev 2821 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = 〈𝑥, 𝑥〉 → ∃𝑤∃𝑣 𝑧 = 〈𝑤, 𝑣〉) |
90 | 86, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝑧 = {𝐴}) → ∃𝑤∃𝑣 𝑧 = 〈𝑤, 𝑣〉) |
91 | 90 | adantlr 469 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑧 = {𝐴}) → ∃𝑤∃𝑣 𝑧 = 〈𝑤, 𝑣〉) |
92 | | preq12 3654 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}) → {𝐴, 𝐵} = {{𝑥}, {𝑥, 𝑦}}) |
93 | 92 | eqeq2d 2177 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑧 = {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑧 = {{𝑥}, {𝑥, 𝑦}})) |
94 | 93 | biimpa 294 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑧 = {𝐴, 𝐵}) → 𝑧 = {{𝑥}, {𝑥, 𝑦}}) |
95 | 19, 20 | dfop 3756 |
. . . . . . . . . 10
⊢
〈𝑥, 𝑦〉 = {{𝑥}, {𝑥, 𝑦}} |
96 | 94, 95 | eqtr4di 2216 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑧 = {𝐴, 𝐵}) → 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) |
97 | | opeq12 3759 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝑦) → 〈𝑤, 𝑣〉 = 〈𝑥, 𝑦〉) |
98 | 97 | eqeq2d 2177 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝑦) → (𝑧 = 〈𝑤, 𝑣〉 ↔ 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
99 | 19, 20, 98 | spc2ev 2821 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ∃𝑤∃𝑣 𝑧 = 〈𝑤, 𝑣〉) |
100 | 96, 99 | syl 14 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑧 = {𝐴, 𝐵}) → ∃𝑤∃𝑣 𝑧 = 〈𝑤, 𝑣〉) |
101 | 91, 100 | jaodan 787 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}) ∧ (𝑧 = {𝐴} ∨ 𝑧 = {𝐴, 𝐵})) → ∃𝑤∃𝑣 𝑧 = 〈𝑤, 𝑣〉) |
102 | 101 | ex 114 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑧 = {𝐴} ∨ 𝑧 = {𝐴, 𝐵}) → ∃𝑤∃𝑣 𝑧 = 〈𝑤, 𝑣〉)) |
103 | | elvv 4665 |
. . . . . 6
⊢ (𝑧 ∈ (V × V) ↔
∃𝑤∃𝑣 𝑧 = 〈𝑤, 𝑣〉) |
104 | 102, 6, 103 | 3imtr4g 204 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑧 ∈ 〈𝐴, 𝐵〉 → 𝑧 ∈ (V × V))) |
105 | 104 | ssrdv 3147 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}) → 〈𝐴, 𝐵〉 ⊆ (V ×
V)) |
106 | 105 | exlimivv 1884 |
. . 3
⊢
(∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}) → 〈𝐴, 𝐵〉 ⊆ (V ×
V)) |
107 | 79, 106 | impbii 125 |
. 2
⊢
(〈𝐴, 𝐵〉 ⊆ (V × V)
↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦})) |
108 | 1, 107 | bitri 183 |
1
⊢ (Rel
〈𝐴, 𝐵〉 ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥} ∧ 𝐵 = {𝑥, 𝑦})) |