Theorem eqlei 8263

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 23-May-1999.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
eqlei	⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem eqlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		eqle 8261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
3	1, 2	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ℝcr 8021   ≤ cle 8205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-pre-ltirr 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210

This theorem is referenced by:  le2tri3i  8278  fldiv4lem1div2  10557  resqrexlemnm  11569  fprodle  12191