ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1imaeq GIF version

Theorem f1imaeq 5797
Description: Taking images under a one-to-one function preserves equality. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
f1imaeq ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1imaeq
StepHypRef Expression
1 f1imass 5796 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ 𝐶𝐷))
2 f1imass 5796 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐷𝐴𝐶𝐴)) → ((𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶) ↔ 𝐷𝐶))
32ancom2s 566 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶) ↔ 𝐷𝐶))
41, 3anbi12d 473 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶)) ↔ (𝐶𝐷𝐷𝐶)))
5 eqss 3185 . 2 ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶)))
6 eqss 3185 . 2 (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶𝐷𝐷𝐶))
74, 5, 63bitr4g 223 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wss 3144  cima 4647  1-1wf1 5232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fv 5243
This theorem is referenced by:  hmeoimaf1o  14291
  Copyright terms: Public domain W3C validator