ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1imaeq GIF version

Theorem f1imaeq 5769
Description: Taking images under a one-to-one function preserves equality. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
f1imaeq ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1imaeq
StepHypRef Expression
1 f1imass 5768 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ 𝐶𝐷))
2 f1imass 5768 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐷𝐴𝐶𝐴)) → ((𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶) ↔ 𝐷𝐶))
32ancom2s 566 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶) ↔ 𝐷𝐶))
41, 3anbi12d 473 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶)) ↔ (𝐶𝐷𝐷𝐶)))
5 eqss 3170 . 2 ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶)))
6 eqss 3170 . 2 (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶𝐷𝐷𝐶))
74, 5, 63bitr4g 223 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wss 3129  cima 4625  1-1wf1 5208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fv 5219
This theorem is referenced by:  hmeoimaf1o  13447
  Copyright terms: Public domain W3C validator