ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1imass GIF version

Theorem f1imass 5769
Description: Taking images under a one-to-one function preserves subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
f1imass ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ 𝐶𝐷))

Proof of Theorem f1imass
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 535 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → 𝐶𝐴)
21sseld 3154 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → (𝑎𝐶𝑎𝐴))
3 simplr 528 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷))
43sseld 3154 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐶) → (𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷)))
5 simplll 533 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
6 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎𝐴)
7 simp1rl 1062 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐶𝐴)
873expa 1203 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐶𝐴)
9 f1elima 5768 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝑎𝐴𝐶𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐶) ↔ 𝑎𝐶))
105, 6, 8, 9syl3anc 1238 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐶) ↔ 𝑎𝐶))
11 simp1rr 1063 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐷𝐴)
12113expa 1203 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐷𝐴)
13 f1elima 5768 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝑎𝐴𝐷𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ 𝑎𝐷))
145, 6, 12, 13syl3anc 1238 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ 𝑎𝐷))
154, 10, 143imtr3d 202 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎𝐶𝑎𝐷))
1615ex 115 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → (𝑎𝐴 → (𝑎𝐶𝑎𝐷)))
172, 16syld 45 . . . . 5 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → (𝑎𝐶 → (𝑎𝐶𝑎𝐷)))
1817pm2.43d 50 . . . 4 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → (𝑎𝐶𝑎𝐷))
1918ssrdv 3161 . . 3 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → 𝐶𝐷)
2019ex 115 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) → 𝐶𝐷))
21 imass2 5000 . 2 (𝐶𝐷 → (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷))
2220, 21impbid1 142 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ 𝐶𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2148  wss 3129  cima 4626  1-1wf1 5209  cfv 5212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fv 5220
This theorem is referenced by:  f1imaeq  5770
  Copyright terms: Public domain W3C validator