Theorem f1ssf1 5624

Description: A subset of an injective function is injective. (Contributed by AV, 20-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
f1ssf1	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → Fun ◡𝐺)

Proof of Theorem f1ssf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funssres 5376	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺)
2		funres11 5409	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡𝐹 → Fun ◡(𝐹 ↾ dom 𝐺))
3		cnveq 4910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = (𝐹 ↾ dom 𝐺) → ◡𝐺 = ◡(𝐹 ↾ dom 𝐺))
4	3	funeqd 5355	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = (𝐹 ↾ dom 𝐺) → (Fun ◡𝐺 ↔ Fun ◡(𝐹 ↾ dom 𝐺)))
5	2, 4	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = (𝐹 ↾ dom 𝐺) → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺))
6	5	eqcoms 2234	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺 → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺))
7	1, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺))
8	7	ex 115	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐺 ⊆ 𝐹 → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺)))
9	8	com23 78	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (Fun ◡𝐹 → (𝐺 ⊆ 𝐹 → Fun ◡𝐺)))
10	9	3imp 1220	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → Fun ◡𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ⊆ wss 3201  ^◡ccnv 4730  dom cdm 4731   ↾ cres 4733  Fun wfun 5327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-res 4743  df-fun 5335

This theorem is referenced by:  subusgr  16199