ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fco2 GIF version

Theorem fco2 5289
Description: Functionality of a composition with weakened out of domain condition on the first argument. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fco2 (((𝐹𝐵):𝐵𝐶𝐺:𝐴𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴𝐶)

Proof of Theorem fco2
StepHypRef Expression
1 fco 5288 . 2 (((𝐹𝐵):𝐵𝐶𝐺:𝐴𝐵) → ((𝐹𝐵) ∘ 𝐺):𝐴𝐶)
2 frn 5281 . . . . 5 (𝐺:𝐴𝐵 → ran 𝐺𝐵)
3 cores 5042 . . . . 5 (ran 𝐺𝐵 → ((𝐹𝐵) ∘ 𝐺) = (𝐹𝐺))
42, 3syl 14 . . . 4 (𝐺:𝐴𝐵 → ((𝐹𝐵) ∘ 𝐺) = (𝐹𝐺))
54adantl 275 . . 3 (((𝐹𝐵):𝐵𝐶𝐺:𝐴𝐵) → ((𝐹𝐵) ∘ 𝐺) = (𝐹𝐺))
65feq1d 5259 . 2 (((𝐹𝐵):𝐵𝐶𝐺:𝐴𝐵) → (((𝐹𝐵) ∘ 𝐺):𝐴𝐶 ↔ (𝐹𝐺):𝐴𝐶))
71, 6mpbid 146 1 (((𝐹𝐵):𝐵𝐶𝐺:𝐴𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wss 3071  ran crn 4540  cres 4541  ccom 4543  wf 5119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127
This theorem is referenced by:  isomninnlem  13239
  Copyright terms: Public domain W3C validator